ДЗ 120. Повторение. Решение задач на движение по воде

ЗАДАНИЕ №1

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 153 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 13 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 33 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

• Пусть V — скорость теплохода в неподвижной воде (13 км/ч), а u — скорость течения реки.
• Скорость по течению: V + u = 13 + u.
• Скорость против течения: V - u = 13 - u.
• Время в пути по течению: t1 = 153 / (13 + u).
• Время в пути против течения: t2 = 153 / (13 - u).
• Общее время в пути: t1 + t2 = 33 часа (общее время) - 7 часов (стоянка) = 26 часов.
• Уравнение: 153 / (13 + u) + 153 / (13 - u) = 26.
• Умножим обе части на (13 + u)(13 - u): 153(13 - u) + 153(13 + u) = 26(13 + u)(13 - u).
• 1989 - 153u + 1989 + 153u = 26(169 - u²).
• 3978 = 26(169 - u²).
• 3978 / 26 = 169 - u².
• 153 = 169 - u².
• u² = 169 - 153.
• u² = 16.
• u = 4 км/ч (скорость течения).

Ответ: 4 км/ч

ЗАДАНИЕ №2

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

• Пусть V — скорость лодки в неподвижной воде.
• Скорость против течения: V - 1 км/ч.
• Скорость по течению: V + 1 км/ч.
• Время в пути против течения: t1 = 255 / (V - 1).
• Время в пути по течению: t2 = 255 / (V + 1).
• Условие: t1 = t2 + 2.
• Уравнение: 255 / (V - 1) = 255 / (V + 1) + 2.
• 255 / (V - 1) - 255 / (V + 1) = 2.
• 255 * [(V + 1) - (V - 1)] / [(V - 1)(V + 1)] = 2.
• 255 * 2 / (V² - 1) = 2.
• 510 / (V² - 1) = 2.
• 510 = 2(V² - 1).
• 255 = V² - 1.
• V² = 256.
• V = 16 км/ч (скорость лодки в неподвижной воде).

Ответ: 16 км/ч

ЗАДАНИЕ №3

Расстояние между пристанями А и В равно 99 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 4 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

• Скорость течения реки u = 2 км/ч.
• Скорость плота равна скорости течения, то есть 2 км/ч.
• Время, за которое плот проплыл 28 км: t_плот_28 = 28 км / 2 км/ч = 14 часов.
• Плот плыл 14 часов. Моторная лодка отправилась через 4 часа после плота, значит, лодка плыла: 14 часов - 4 часа = 10 часов.
• Расстояние от А до В = 99 км.
• Скорость лодки по течению: V + u = V + 2.
• Скорость лодки против течения: V - u = V - 2.
• Время лодки в пути от А до В (по течению): t_AB = 99 / (V + 2).
• Время лодки в пути от В до А (против течения): t_BA = 99 / (V - 2).
• Общее время лодки в пути: t_AB + t_BA = 10 часов.
• 99 / (V + 2) + 99 / (V - 2) = 10.
• 99 * [(V - 2) + (V + 2)] / [(V + 2)(V - 2)] = 10.
• 99 * 2V / (V² - 4) = 10.
• 198V = 10(V² - 4).
• 198V = 10V² - 40.
• 10V² - 198V - 40 = 0.
• 5V² - 99V - 20 = 0.
• Решим квадратное уравнение: V = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a.
• V = [99 ± sqrt((-99)² - 4 * 5 * -20)] / (2 * 5).
• V = [99 ± sqrt(9801 + 400)] / 10.
• V = [99 ± sqrt(10201)] / 10.
• V = [99 ± 101] / 10.
• V = (99 + 101) / 10 = 200 / 10 = 20 км/ч.
• V = (99 - 101) / 10 = -2 / 10 = -0.2 км/ч (не подходит, скорость не может быть отрицательной).
• Скорость лодки в неподвижной воде = 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч

ЗАДАНИЕ №4

Баржа прошла по течению реки 51 км и, повернув обратно, прошла ещё 36 км, затратив на весь путь 7 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

• Пусть V — собственная скорость баржи.
• Скорость течения реки u = 4 км/ч.
• Скорость баржи по течению: V + 4.
• Скорость баржи против течения: V - 4.
• Время в пути по течению: t1 = 51 / (V + 4).
• Время в пути против течения: t2 = 36 / (V - 4).
• Общее время в пути: t1 + t2 = 7 часов.
• 51 / (V + 4) + 36 / (V - 4) = 7.
• 51(V - 4) + 36(V + 4) = 7(V + 4)(V - 4).
• 51V - 204 + 36V + 144 = 7(V² - 16).
• 87V - 60 = 7V² - 112.
• 7V² - 87V - 52 = 0.
• Решим квадратное уравнение: V = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a.
• V = [87 ± sqrt((-87)² - 4 * 7 * -52)] / (2 * 7).
• V = [87 ± sqrt(7569 + 1456)] / 14.
• V = [87 ± sqrt(9025)] / 14.
• V = [87 ± 95] / 14.
• V = (87 + 95) / 14 = 182 / 14 = 13 км/ч.
• V = (87 - 95) / 14 = -8 / 14 (не подходит, скорость не может быть отрицательной).
• Собственная скорость баржи = 13 км/ч.

Ответ: 13 км/ч