ДЗ 81. Свойство и признак касательной к окружности. Свойство отрезков касательных ЗАДАНИЕ №1 Прямая PR касается окружности с центром O в точке P. Хорда PQ длиной 20 пересекает отрезок OR длиной 22 в точке S и делит его пополам. Найдите длину отрезка QS.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Дано:

• Окружность с центром O.
• PR — касательная к окружности в точке P.
• PQ — хорда длиной 20.
• OR — отрезок длиной 22.
• Точка S лежит на OR и является серединой OR.
• Хорда PQ пересекает OR в точке S.

Найти: Длину отрезка QS.

Решение:

1. Свойства касательной и радиуса: Так как PR — касательная, а OP — радиус, проведенный в точку касания, то OP перпендикулярен PR. Это значит, что угол OPR равен 90 градусов.
2. Треугольник OPR: Мы имеем прямоугольный треугольник OPR.
3. Середина OR: Точка S делит отрезок OR пополам. Длина OR равна 22, значит, OS = SR = 22 / 2 = 11.
4. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике: Отрезок PS является медианой, проведенной к гипотенузе (OR) в прямоугольном треугольнике OPR. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, PS = OS = SR = 11.
5. Треугольник PSQ: Теперь рассмотрим треугольник PSQ. Мы знаем, что PQ = 20 и PS = 11.
6. Признак равнобедренного треугольника: В задаче сказано, что хорда PQ пересекает OR в точке S. У нас получилось, что PS = 11 и SQ — часть хорды PQ.
7. Свойство хорды: Хорда PQ равна 20. Точка S лежит на этой хорде.
8. Важный момент: В условии сказано, что хорда PQ пересекает OR в точке S. А в пункте 1 и 4 мы выяснили, что PS = 11.
9. Из условия задачи: Хорда PQ имеет длину 20. Точка S находится на хорде PQ.
10. Сопоставляем: Если PS = 11, и хорда PQ = 20, то SQ = PQ - PS = 20 - 11 = 9.

Ответ: 9