ДЗ 93. Повторение. Решение дробно-рациональных уравнений ЗАДАНИЕ №5 Решите уравнение: 3/(x+7) - 9/(x-5) = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. x = ?

Решение:

1. Приведем уравнение к общему знаменателю:

   Для уравнения $$\frac{3}{x+7} - \frac{9}{x-5} = 2$$ общим знаменателем будет $$(x+7)(x-5)$$. Умножим обе части уравнения на $$(x+7)(x-5)$$, получим: $$3(x-5) - 9(x+7) = 2(x+7)(x-5)$$

2. Раскроем скобки и упростим:

   $$3x - 15 - 9x - 63 = 2(x^2 - 5x + 7x - 35)$$ $$-6x - 78 = 2(x^2 + 2x - 35)$$ $$-6x - 78 = 2x^2 + 4x - 70$$

3. Перенесем все члены в одну сторону для получения квадратного уравнения:

   $$2x^2 + 4x - 70 + 6x + 78 = 0$$ $$2x^2 + 10x + 8 = 0$$

4. Разделим уравнение на 2 для упрощения:

   $$x^2 + 5x + 4 = 0$$

5. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета:

   Сумма корней $$x_1 + x_2 = -5$$ Произведение корней $$x_1 \cdot x_2 = 4$$ Корни уравнения: $$x_1 = -1$$, $$x_2 = -4$$.

6. Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих корнях:

   При $$x = -1$$: $$x+7 = -1+7 = 6
   eq 0$$, $$x-5 = -1-5 = -6
   eq 0$$. При $$x = -4$$: $$x+7 = -4+7 = 3
   eq 0$$, $$x-5 = -4-5 = -9
   eq 0$$. Оба корня подходят.

7. Укажем меньший корень:

   Среди корней $$-1$$ и $$-4$$, меньшим является $$-4$$.

Ответ: -4