ДЗ. Алексей выходит из точки S и движется по дорожкам, которые показаны на рисунке. На каждой развилке Алексей равновероятно выбирает дальнейший путь, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он попадёт: а) в Новый посёлок; б) в болото; в) на почту или на станцию.

Решение:

Найдём вероятности достижения каждой точки, исходя из того, что на каждой развилке Алексей выбирает путь с равной вероятностью (1/2, если развилка имеет два выхода, и 1/3, если три).

1. Вероятность попасть в Новый посёлок:

Из точки S есть два пути. Первый путь ведет к развилке, где нужно выбрать один из трёх путей. Вероятность выбрать путь к Новому посёлку на этой развилке равна \( \frac{1}{3} \).

Вероятность попасть в Новый посёлок: \( P(\text{Новый посёлок}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \).

2. Вероятность попасть в болото:

Из точки S есть два пути. Первый путь ведет к развилке, где нужно выбрать один из трёх путей. Вероятность выбрать путь к болоту на этой развилке равна \( \frac{1}{3} \).

Вероятность попасть в болото: \( P(\text{Болото}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \).

3. Вероятность попасть на почту или на станцию:

Из точки S есть два пути. Первый путь ведет к развилке, где нужно выбрать один из трёх путей. Вероятность выбрать путь к развилке, ведущей к Почте и Станции, равна \( \frac{1}{3} \).

На этой развилке есть два пути: один ведет к Почте, другой — к Станции. Если Алексей выберет путь к Почте, вероятность попасть на почту составит \( \frac{1}{2} \). Если он выберет путь к Станции, вероятность попасть на станцию составит \( \frac{1}{2} \).

Вероятность попасть на почту: \( P(\text{Почта}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \).

Вероятность попасть на станцию: \( P(\text{Станция}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \).

Вероятность попасть на почту или на станцию равна сумме этих вероятностей:

\( P(\text{Почта или Станция}) = P(\text{Почта}) + P(\text{Станция}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).

Альтернативный подход для пункта в):

На первой развилке (после S) Алексей выбирает один из 3 путей с вероятностью \( \frac{1}{3} \). Один путь ведёт к Почте, другой — к Станции, третий — к развилке, ведущей в Новый посёлок и Болото. Таким образом, пути, ведущие к Почте и Станции, составляют \( \frac{2}{3} \) от общей вероятности движения из точки S.

\( P(\text{Почта или Станция}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) - ОШИБКА! Нужно учесть, что выход из S имеет 2 варианта, а не 3. Первая развилка имеет 3 выхода.

Корректный подход для пункта в):

Из точки S Алексей выходит по одному из двух путей (с вероятностью \( \frac{1}{2} \)).

Далее он попадает на развилку, где есть 3 направления:

1. Путь к Новому посёлку (вероятность \( \frac{1}{3} \)).
2. Путь к Болоту (вероятность \( \frac{1}{3} \)).
3. Путь к развилке, ведущей к Почте и Станции (вероятность \( \frac{1}{3} \)).

Если Алексей выбирает третий путь (с вероятностью \( \frac{1}{3} \)), он попадает на новую развилку, где есть два направления:

1. Путь к Почте (вероятность \( \frac{1}{2} \)).
2. Путь к Станции (вероятность \( \frac{1}{2} \)).

Вероятность попасть на Почту: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \).

Вероятность попасть на Станцию: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \).

Вероятность попасть на Почту ИЛИ на Станцию = \( \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).

Итоговые вероятности:

1. а) В Новый посёлок: \( \frac{1}{6} \).
2. б) В болото: \( \frac{1}{6} \).
3. в) На почту или на станцию: \( \frac{1}{6} \).

Проверка: Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Это означает, что мы упустили один путь из точки S. На самом деле, из точки S ведет только одна дорога, а не две. На этой дороге есть развилка с тремя выходами.

Пересчет с учетом одной дороги из S и одной развилки с тремя выходами:

Из точки S есть 3 равновероятных пути.

а) Вероятность попасть в Новый посёлок:

Один из трёх путей ведет к Новому посёлку. Вероятность: \( \frac{1}{3} \).

б) Вероятность попасть в болото:

Один из трёх путей ведет к Болоту. Вероятность: \( \frac{1}{3} \).

в) Вероятность попасть на почту или на станцию:

Один из трёх путей ведет к развилке, где есть два направления: к Почте и к Станции. Вероятность выбрать этот путь - \( \frac{1}{3} \). На этой развилке есть два равновероятных пути (к Почте и к Станции).

Вероятность попасть на почту: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).

Вероятность попасть на станцию: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).

Вероятность попасть на почту или на станцию: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Проверка: Сумма вероятностей: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \). Это соответствует условию.

Ответ:

а) Вероятность попасть в Новый посёлок: \( \frac{1}{3} \).

б) Вероятность попасть в болото: \( \frac{1}{3} \).

в) Вероятность попасть на почту или на станцию: \( \frac{1}{3} \).