Д.З. на 09.04. № 1. Решите систему уравнений 5x-y = 17, 7x + 3y = 15. № 2. На ферме живут кролики и куры. Всего у них 24 головы и 68 ног. Сколько кроликов и сколько кур живёт на ферме? № 3. Решите систему уравнений 15-2(3y-x)- y = -14, x+3y+10=21-3(x + 2y).. № 4. График линейной функции пересекает оси координат в точках (5; 0) и (0; -3). Задайте эту функцию формулой. № 5. Имеет ли решения система 6x-5y = 2, 7-12x + 10y = 4 и сколько?

№1. Решите систему уравнений

Логика такая:

• Выразим y через x в первом уравнении:
• Подставим выражение для y во второе уравнение.
• Решим полученное уравнение относительно x.
• Подставим найденное значение x в выражение для y.

Пошаговое решение:

1. Выразим y через x из первого уравнения:

\[ 5x - y = 17 \]

\[ y = 5x - 17 \]

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 7x + 3(5x - 17) = 15 \]

3. Раскроем скобки и решим уравнение относительно x:

\[ 7x + 15x - 51 = 15 \]

\[ 22x = 66 \]

\[ x = 3 \]

4. Подставим значение x в выражение для y:

\[ y = 5(3) - 17 \]

\[ y = 15 - 17 \]

\[ y = -2 \]

Ответ: x = 3, y = -2

№2. Задача про кроликов и кур

Логика такая:

• Составим систему уравнений, где x - количество кроликов, а y - количество кур.
• Решим систему уравнений.

Решение:

Пусть x - количество кроликов, y - количество кур.

Уравнения:

• Общее количество голов: \[ x + y = 24 \]
• Общее количество ног: \[ 4x + 2y = 68 \]

Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 24 \\ 4x + 2y = 68 \end{cases} \]

Выразим y через x из первого уравнения: \[ y = 24 - x \]

Подставим во второе уравнение: \[ 4x + 2(24 - x) = 68 \]

Раскроем скобки: \[ 4x + 48 - 2x = 68 \]

Упростим: \[ 2x = 20 \]

\[ x = 10 \]

Подставим значение x в уравнение для y: \[ y = 24 - 10 \]

\[ y = 14 \]

Ответ: 10 кроликов, 14 кур

№3. Решите систему уравнений

Логика такая:

• Упростим оба уравнения системы.
• Решим систему уравнений методом подстановки или сложения.

Решение:

\[ \begin{cases} 15 - 2(3y - x) - y = -14 \\ x + 3y + 10 = 21 - 3(x + 2y) \end{cases} \]

Упростим первое уравнение: \[ 15 - 6y + 2x - y = -14 \]

\[ 2x - 7y = -29 \]

Упростим второе уравнение: \[ x + 3y + 10 = 21 - 3x - 6y \]

\[ 4x + 9y = 11 \]

Теперь система уравнений выглядит так:

\[ \begin{cases} 2x - 7y = -29 \\ 4x + 9y = 11 \end{cases} \]

Умножим первое уравнение на -2: \[ -4x + 14y = 58 \]

Сложим первое уравнение со вторым уравнением: \[ -4x + 14y + 4x + 9y = 58 + 11 \]

\[ 23y = 69 \]

\[ y = 3 \]

Подставим значение y в первое уравнение: \[ 2x - 7(3) = -29 \]

\[ 2x - 21 = -29 \]

\[ 2x = -8 \]

\[ x = -4 \]

Ответ: x = -4, y = 3

№4. График линейной функции

Логика такая:

• Используем общий вид линейной функции y = kx + b.
• Подставим координаты точек (5; 0) и (0; -3) в уравнение и решим систему уравнений относительно k и b.

Решение:

Общий вид линейной функции: \[ y = kx + b \]

Подставим координаты точки (5; 0): \[ 0 = 5k + b \]

Подставим координаты точки (0; -3): \[ -3 = 0k + b \]

Из второго уравнения: \[ b = -3 \]

Подставим значение b в первое уравнение: \[ 0 = 5k - 3 \]

\[ 5k = 3 \]

\[ k = \frac{3}{5} \]

Итоговая функция: \[ y = \frac{3}{5}x - 3 \]

Ответ: y = (3/5)x - 3

№5. Имеет ли решения система

Логика такая:

• Проверим, являются ли уравнения пропорциональными.
• Если уравнения пропорциональны, то система либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Решение:

\[ \begin{cases} 6x - 5y = 2 \\ -12x + 10y = 4 \end{cases} \]

Умножим первое уравнение на -2: \[ -12x + 10y = -4 \]

Сравним со вторым уравнением: \[ -12x + 10y = 4 \]

Левые части уравнений одинаковы, а правые разные: -4 ≠ 4.

Следовательно, система не имеет решений, так как уравнения противоречивы.

Ответ: Система не имеет решений.