Д/з по алгебре на ① Решите уравнение. a) 6x2-3x=0 б) 25x2=81 ② Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого. ③ Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна Чвам, а гипотенуза треугольника Знам.

Привет! Давай решим эти задачи по алгебре вместе.

Задание 1: Решение уравнений

а) 6x² - 3x = 0

Вынесем общий множитель 3x за скобки:

\[ 3x(2x - 1) = 0 \]

Отсюда два возможных решения:

1. \[ 3x = 0 \] => \[ x = 0 \]
2. \[ 2x - 1 = 0 \] => \[ 2x = 1 \] => \[ x = \frac{1}{2} \]

Ответ: x = 0, x = 1/2

б) 25x² = 81

Разделим обе части на 25:

\[ x^2 = \frac{81}{25} \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ x = \pm \sqrt{\frac{81}{25}} \] => \[ x = \pm \frac{9}{5} \]

Ответ: x = 9/5, x = -9/5

Задание 2: Натуральные числа

Пусть одно число равно x, тогда другое число равно x + 8. Их произведение равно 273:

\[ x(x + 8) = 273 \]

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

\[ x^2 + 8x - 273 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(1)(-273) = 64 + 1092 = 1156 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 34}{2} = \frac{26}{2} = 13 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 34}{2} = \frac{-42}{2} = -21 \]

Так как числа натуральные, то подходит только x = 13. Тогда другое число x + 8 = 13 + 8 = 21.

Ответ: 13 и 21

Задание 3: Прямоугольный треугольник

Пусть один катет равен a, а другой b. Сумма катетов равна 4 см, а гипотенуза равна 3√2 см.

\[ a + b = 4 \]

\[ a^2 + b^2 = (3\sqrt{2})^2 \]

\[ a^2 + b^2 = 18 \]

Выразим b через a из первого уравнения:

\[ b = 4 - a \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ a^2 + (4 - a)^2 = 18 \]

\[ a^2 + 16 - 8a + a^2 = 18 \]

\[ 2a^2 - 8a - 2 = 0 \]

\[ a^2 - 4a - 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

\[ a_1 = \frac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5} \]

\[ a_2 = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5} \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, оба значения подходят, но они будут соответствовать разным катетам.

Если \[ a = 2 + \sqrt{5} \], то \[ b = 4 - (2 + \sqrt{5}) = 2 - \sqrt{5} \]

Если \[ a = 2 - \sqrt{5} \], то \[ b = 4 - (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} \]

Ответ: Катеты равны \( 2 + \sqrt{5} \) см и \( 2 - \sqrt{5} \) см