Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2026 (примеры прототипов) 09. Уравнения Блок 1. ФИПИ Примеры прототипов Задание 1. Найдите корень уравнения. 1) 7x+6=3x; 2) 3+4x-9x-11; 3) 2(x+5)=-9. Задание 2. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. 1) x²-1=0; 2) 9x2=27x. Задание 3. Решите уравнение х²-196=0. Если уравнение имеет более од- ного корня, в ответ запишите больший из корней. Задание 4. Решите уравнение х²-3х-28=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. Задание 5. Решите уравнение х²-6x-16=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. Задание 6. Решите уравнение 5х2-7x+2=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. Задание 7. Решите уравнение 2х2+5x+3=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. 09. Уравнения Блок 2. ФИПИ. Расширенная версия Примеры прототипов Задание 1. Найдите корень уравнения. 1) -9+x=3x-7; 2) 3-4(3x-5)=12-7x 3) x-1-2(x+2)=-3(1-x)+8; 4) (x+2)² =(7-x)²; 5) (x-4)2+(x-1)² = 2x²; 6) 2x2+3x-8=5x2+4x-(-5+3x²). Задание 2. Найдите корень уравнения. 1) x-1-34 18 9'; +x_x+8. 2)-5+3=6; 3) 7x+2+1=5x 4 16 8 4) x+3 = - 11'; 3 5). 5 x+9=-2; 5 = 6)x1225 x-12 x-5

Блок 1. ФИПИ

Задание 1

1. Краткое пояснение: Переносим иксы в одну сторону, числа в другую.
   \[7x + 6 = 3x\] \[7x - 3x = -6\] \[4x = -6\] \[x = \frac{-6}{4} = -1.5\]

   Ответ: -1.5

2. Краткое пояснение: Аналогично предыдущему примеру.
   \[3 + 4x = 9x - 11\] \[4x - 9x = -11 - 3\] \[-5x = -14\] \[x = \frac{-14}{-5} = 2.8\]

   Ответ: 2.8

3. Краткое пояснение: Сначала раскрываем скобки, потом решаем как обычно.
   \[2(x + 5) = -9\] \[2x + 10 = -9\] \[2x = -9 - 10\] \[2x = -19\] \[x = \frac{-19}{2} = -9.5\]

   Ответ: -9.5

Задание 2

1. Краткое пояснение: Решаем квадратное уравнение.
   \[x^2 - 1 = 0\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]

   Меньший корень: -1

   Ответ: -1

2. Краткое пояснение: Делим обе части на 9 и извлекаем корень.
   \[9x^2 = 27x\] \[x^2 = 3x\] \[x^2 - 3x = 0\] \[x(x - 3) = 0\] \[x_1 = 0, x_2 = 3\]

   Меньший корень: 0

   Ответ: 0

Задание 3

\[x^2 - 196 = 0\] \[x^2 = 196\] \[x = \pm 14\]

Больший корень: 14

Ответ: 14

Задание 4

\[x^2 - 3x - 28 = 0\] \[D = (-3)^2 - 4(1)(-28) = 9 + 112 = 121\] \[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{3 \pm 11}{2}\] \[x_1 = \frac{3 + 11}{2} = 7, x_2 = \frac{3 - 11}{2} = -4\]

Меньший корень: -4

Ответ: -4

Задание 5

\[x^2 - 6x - 16 = 0\] \[D = (-6)^2 - 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100\] \[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{6 \pm 10}{2}\] \[x_1 = \frac{6 + 10}{2} = 8, x_2 = \frac{6 - 10}{2} = -2\]

Больший корень: 8

Ответ: 8

Задание 6

\[5x^2 - 7x + 2 = 0\] \[D = (-7)^2 - 4(5)(2) = 49 - 40 = 9\] \[x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2(5)} = \frac{7 \pm 3}{10}\] \[x_1 = \frac{7 + 3}{10} = 1, x_2 = \frac{7 - 3}{10} = 0.4\]

Меньший корень: 0.4

Ответ: 0.4

Задание 7

\[2x^2 + 5x + 3 = 0\] \[D = (5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1\] \[x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-5 \pm 1}{4}\] \[x_1 = \frac{-5 + 1}{4} = -1, x_2 = \frac{-5 - 1}{4} = -1.5\]

Больший корень: -1

Ответ: -1

Блок 2. ФИПИ. Расширенная версия

Задание 1

1. Краткое пояснение: Решаем линейное уравнение.
   \[-9 + x = 3x - 7\] \[x - 3x = -7 + 9\] \[-2x = 2\] \[x = -1\]

   Ответ: -1

2. Краткое пояснение: Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
   \[3 - 4(3x - 5) = 12 - 7x\] \[3 - 12x + 20 = 12 - 7x\] \[-12x + 7x = 12 - 3 - 20\] \[-5x = -11\] \[x = \frac{11}{5} = 2.2\]

   Ответ: 2.2

3. Краткое пояснение: Сначала раскрываем скобки, затем приводим подобные слагаемые.
   \[x - 1 - 2(x + 2) = -3(1 - x) + 8\] \[x - 1 - 2x - 4 = -3 + 3x + 8\] \[-x - 5 = 3x + 5\] \[-x - 3x = 5 + 5\] \[-4x = 10\] \[x = -\frac{10}{4} = -2.5\]

   Ответ: -2.5

4. Краткое пояснение: Раскрываем скобки и упрощаем.
   \[(x + 2)^2 = (7 - x)^2\] \[x^2 + 4x + 4 = 49 - 14x + x^2\] \[4x + 14x = 49 - 4\] \[18x = 45\] \[x = \frac{45}{18} = 2.5\]

   Ответ: 2.5

5. Краткое пояснение: Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые.
   \[(x - 4)^2 + (x - 1)^2 = 2x^2\] \[x^2 - 8x + 16 + x^2 - 2x + 1 = 2x^2\] \[2x^2 - 10x + 17 = 2x^2\] \[-10x = -17\] \[x = \frac{17}{10} = 1.7\]

   Ответ: 1.7

6. Краткое пояснение: Упрощаем выражение и приводим подобные члены.
   \[2x^2 + 3x - 8 = 5x^2 + 4x - (-5 + 3x^2)\] \[2x^2 + 3x - 8 = 5x^2 + 4x + 5 - 3x^2\] \[2x^2 + 3x - 8 = 2x^2 + 4x + 5\] \[3x - 4x = 5 + 8\] \[-x = 13\] \[x = -13\]

   Ответ: -13

Задание 2

1. Краткое пояснение: Приводим дроби к общему знаменателю.
   \[x - \frac{x}{18} = -\frac{34}{9}\] \[\frac{18x - x}{18} = -\frac{34}{9}\] \[\frac{17x}{18} = -\frac{34}{9}\] \[17x = -\frac{34 \cdot 18}{9}\] \[17x = -34 \cdot 2\] \[17x = -68\] \[x = -\frac{68}{17} = -4\]

   Ответ: -4

2. Краткое пояснение: Приводим дроби к общему знаменателю.
   \[-5 + \frac{x}{3} = \frac{x + 8}{6}\] \[\frac{-30 + 2x}{6} = \frac{x + 8}{6}\] \[-30 + 2x = x + 8\] \[2x - x = 8 + 30\] \[x = 38\]

   Ответ: 38

3. Краткое пояснение: Сначала приводим к общему знаменателю, потом решаем уравнение.
   \[\frac{7x + 2}{4} + 1 = \frac{5x}{3}\] \[\frac{7x + 2 + 4}{4} = \frac{5x}{3}\] \[\frac{7x + 6}{4} = \frac{5x}{3}\] \[3(7x + 6) = 4(5x)\] \[21x + 18 = 20x\] \[21x - 20x = -18\] \[x = -18\]

   Ответ: -18

4. Краткое пояснение: Решаем пропорцию.
   \[\frac{16}{x + 3} = -\frac{8}{11}\] \[16 \cdot 11 = -8(x + 3)\] \[176 = -8x - 24\] \[8x = -24 - 176\] \[8x = -200\] \[x = -\frac{200}{8} = -25\]

   Ответ: -25

5. Краткое пояснение: Решаем уравнение с дробью.
   \[\frac{5}{x + 9} = -2\] \[5 = -2(x + 9)\] \[5 = -2x - 18\] \[2x = -18 - 5\] \[2x = -23\] \[x = -\frac{23}{2} = -11.5\]

   Ответ: -11.5

6. Краткое пояснение: Используем свойство пропорции.
   \[\frac{5}{x - 12} = \frac{12}{x - 5}\] \[5(x - 5) = 12(x - 12)\] \[5x - 25 = 12x - 144\] \[5x - 12x = -144 + 25\] \[-7x = -119\] \[x = \frac{-119}{-7} = 17\]

   Ответ: 17

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно раскрыл скобки и перенес члены уравнения!

Доп. профит (Запомни): Важно знать формулы для раскрытия скобок и уметь решать квадратные уравнения!

Молодец, ты справился с этими уравнениями! Продолжай в том же духе, и все получится!