e работа 18.05. 2016 При юнометрия 1) tg^2 x - 2tg x - 3 = 0 2) 2sin^2 x - 7cosx - 5 = 0 3) 8sin^2 x - sinxcosx - cos^2 x = 3

Решение:

Задание состоит из трёх тригонометрических уравнений.

1. Уравнение 1: \( \operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0 \)
   Сделаем замену: \( y = \operatorname{tg} x \). Получим квадратное уравнение: \( y^2 - 2y - 3 = 0 \).
   Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
   Корни: \( y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \).
   Следовательно, \( \operatorname{tg} x = 3 \) или \( \operatorname{tg} x = -1 \).
   Решения: \( x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.
2. Уравнение 2: \( 2\sin^2 x - 7\cos x - 5 = 0 \)
   Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \):
   \( 2(1 - \cos^2 x) - 7\cos x - 5 = 0 \)
   \( 2 - 2\cos^2 x - 7\cos x - 5 = 0 \)
   \( -2\cos^2 x - 7\cos x - 3 = 0 \)
   \( 2\cos^2 x + 7\cos x + 3 = 0 \)
   Сделаем замену: \( z = \cos x \). Получим квадратное уравнение: \( 2z^2 + 7z + 3 = 0 \).
   Дискриминант: \( D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \).
   Корни: \( z_1 = \frac{-7 + 5}{4} = -\frac{1}{2} \) и \( z_2 = \frac{-7 - 5}{4} = -3 \).
   Так как \( -1 ≤ \cos x ≤ 1 \), то \( \cos x = -\frac{1}{2} \).
   Решения: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \), где \( m \) — целое число.
3. Уравнение 3: \( 8\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 3 \)
   Представим 3 как \( 3(\sin^2 x + \cos^2 x) \):
   \( 8\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) \)
   \( 8\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x \)
   \( 5\sin^2 x - \sin x \cos x - 4\cos^2 x = 0 \)
   Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (предполагая \( \cos x ≠ 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = 1 \), и \( 5 1 = 0 \) — неверно. Значит \( \cos x ≠ 0 \)).
   \( 5\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 4 = 0 \)
   Сделаем замену: \( p = \operatorname{tg} x \). Получим квадратное уравнение: \( 5p^2 - p - 4 = 0 \).
   Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \).
   Корни: \( p_1 = \frac{1 + 9}{10} = 1 \) и \( p_2 = \frac{1 - 9}{10} = -0.8 = -4/5 \).
   Следовательно, \( \operatorname{tg} x = 1 \) или \( \operatorname{tg} x = -4/5 \).
   Решения: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = \operatorname{arctg} (-4/5) + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.

Ответ: 1) \( x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k \), \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \); 2) \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \); 3) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( x = \operatorname{arctg} (-4/5) + \pi n \), где \( k, n, m \) — целые числа.