e) x^3 + 25x \(\le\) 10x^2

Решение:

Перенесём все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить сравнение с нулём:

\[ x^3 - 10x^2 + 25x \le 0 \]

Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(x^2 - 10x + 25) \le 0 \]

Выражение в скобках является полным квадратом разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где \( a=x \) и \( b=5 \):

\[ x(x-5)^2 \le 0 \]

Рассмотрим знаки множителей:

1. Множитель \( x \): отрицателен при \( x < 0 \), равен нулю при \( x = 0 \), положителен при \( x > 0 \).

2. Множитель \( (x-5)^2 \): всегда неотрицателен, так как это квадрат числа. Он равен нулю при \( x = 5 \) и положителен при \( x \neq 5 \).

Чтобы произведение \( x(x-5)^2 \) было неположительным (меньше или равно нулю), необходимо, чтобы выполнялось одно из двух условий:

а) \( x = 0 \). В этом случае произведение равно \( 0(0-5)^2 = 0 \), что удовлетворяет условию \( \le 0 \).

б) \( x < 0 \) и \( (x-5)^2 > 0 \). Так как \( (x-5)^2 \) всегда больше нуля для \( x \neq 5 \), это условие сводится к \( x < 0 \).

Объединяя найденные случаи, получаем, что решение неравенства — это все \( x \), которые меньше или равны нулю.

Ответ: \( x \le 0 \).