e) 1/(y²+y) = 2/(5y+14)

e) Решим уравнение: $$\frac{1}{y^2+y} = \frac{2}{5y+14}$$.

1. Умножим обе части уравнения на $$(y^2+y)(5y+14)$$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$1 \cdot (5y+14) = 2 \cdot (y^2+y)$$.

2. Раскроем скобки:

$$5y + 14 = 2y^2 + 2y$$.

3. Перенесем все члены в правую часть уравнения:

$$0 = 2y^2 + 2y - 5y - 14$$.

4. Приведем подобные слагаемые:

$$2y^2 - 3y - 14 = 0$$.

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121$$.

6. Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 11}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$$.

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 11}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$.

7. Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях y:

Для $$y = 3.5$$:

$$y^2+y = (3.5)^2 + 3.5 = 12.25 + 3.5 = 15.75
eq 0$$.

$$5y+14 = 5 \cdot 3.5 + 14 = 17.5 + 14 = 31.5
eq 0$$.

Для $$y = -2$$:

$$y^2+y = (-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2
eq 0$$.

$$5y+14 = 5 \cdot (-2) + 14 = -10 + 14 = 4
eq 0$$.

Оба корня подходят.

Ответ: $$y_1 = 3.5$$, $$y_2 = -2$$