e) y = 2x⁴ - 8x² - 11.

Решение:

Данное выражение представляет собой биквадратную функцию.

1. Найдём производную функции: \( y' = (2x^4 - 8x^2 - 11)' = 8x^3 - 16x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 8x^3 - 16x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель \( 8x \): \( 8x(x^2 - 2) = 0 \).
4. Решим полученное уравнение. Возможны три случая:
• \( 8x = 0 \) \( \implies x = 0 \).
• \( x^2 - 2 = 0 \) \( \implies x^2 = 2 \) \( \implies x = \pm\sqrt{2} \).
5. Таким образом, критические точки: \( x = 0 \), \( x = \sqrt{2} \), \( x = -\sqrt{2} \).
6. Определим тип экстремума, найдя вторую производную: \( y'' = (8x^3 - 16x)' = 24x^2 - 16 \).
7. Проверим точки:
• При \( x = 0 \): \( y''(0) = 24(0)^2 - 16 = -16 \). Так как \( y''(0) < 0 \), то в точке \( x = 0 \) находится максимум функции.
• При \( x = \sqrt{2} \): \( y''(\sqrt{2}) = 24(\sqrt{2})^2 - 16 = 24(2) - 16 = 48 - 16 = 32 \). Так как \( y''(\sqrt{2}) > 0 \), то в точке \( x = \sqrt{2} \) находится минимум функции.
• При \( x = -\sqrt{2} \): \( y''(-\sqrt{2}) = 24(-\sqrt{2})^2 - 16 = 24(2) - 16 = 48 - 16 = 32 \). Так как \( y''(-\sqrt{2}) > 0 \), то в точке \( x = -\sqrt{2} \) находится минимум функции.
8. Найдём значения функции в точках экстремума:
• При \( x = 0 \): \( y = 2(0)^4 - 8(0)^2 - 11 = -11 \).
• При \( x = \sqrt{2} \): \( y = 2(\sqrt{2})^4 - 8(\sqrt{2})^2 - 11 = 2(4) - 8(2) - 11 = 8 - 16 - 11 = -8 - 11 = -19 \).
• При \( x = -\sqrt{2} \): \( y = 2(-\sqrt{2})^4 - 8(-\sqrt{2})^2 - 11 = 2(4) - 8(2) - 11 = 8 - 16 - 11 = -8 - 11 = -19 \).

Ответ: Максимум функции в точке \( x = 0 \) равен \( y = -11 \). Минимумы функции в точках \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \) равны \( y = -19 \).