7 E 8 6 C 30 A D 30 x 60° R 9 T S B Краткий курс Геометрия

Рассмотрим задачу 8:

Шаг 1: В прямоугольном треугольнике \( \triangle ADC \), угол \( \angle CAD = 30^{\circ} \), а сторона \( AC = 6 \). Катет \( AD \), лежащий против угла \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.

Шаг 2: Найдем длину катета \( AD \):

\[ AD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \]

Шаг 3: В прямоугольном треугольнике \( \triangle ADC \) найдем катет \( DC \) по теореме Пифагора:

\[ DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

Шаг 4: В прямоугольном треугольнике \( \triangle BDC \), угол \( \angle BCD = 60^{\circ} \), следовательно, угол \( \angle DBC = 30^{\circ} \). Катет \( DC \), лежащий против угла \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы \( BC \).

Шаг 5: Найдем длину гипотенузы \( BC \):

\[ BC = 2 \cdot DC = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \]

Шаг 6: Найдем катет \( BD \) по теореме Пифагора:

\[ BD = \sqrt{BC^2 - DC^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{108 - 27} = \sqrt{81} = 9 \]

Шаг 7: Найдем длину стороны \( AB \):

\[ AB = AD + BD = 3 + 9 = 12 \]

Шаг 8: Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \) и найдем длину стороны \( x \) по теореме косинусов:

\[ x^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(30^{\circ}) \] \[ x^2 = 12^2 + 6^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ x^2 = 144 + 36 - 72\sqrt{3} \] \[ x^2 = 180 - 72\sqrt{3} \] \[ x = \sqrt{180 - 72\sqrt{3}} \approx 10.39 \]

Но, с другой стороны, можно увидеть, что углы \( \angle BCD \) и \( \angle BCA \) составляют вместе \( 90^{\circ} \) , то есть \( \angle BCA = 60^{\circ} \) , а \( \angle ABC = 30^{\circ} \). Тогда треугольник \( ABC \) подобен треугольнику \( ADC \). И тогда \( AB=2AD=6 \), \( AD=3 \), \( DB=9 \), следовательно, \( x=AB \cdot 2 = 12 \cdot 2=18 \)

Цифровой атлет сообщает:

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей