(ЕГЭ,2017) а) Решите уравнение 25√3 cos(x+3π/2) = (1/5)2cos(x+π) б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]

a) Решение уравнения:

1. Преобразуем уравнение, используя свойства косинуса:

Используем формулы приведения: \(\cos(x + \frac{3\pi}{2}) = \sin(x)\) и \(\cos(x + \pi) = -\cos(x)\)

Тогда уравнение примет вид:

\[ 25^{\sqrt{3} \sin(x)} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2\cos(x)} \]

• Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 5:

\[ (5^2)^{\sqrt{3} \sin(x)} = (5^{-1})^{-2\cos(x)} \]

\[ 5^{2\sqrt{3} \sin(x)} = 5^{2\cos(x)} \]

• Приравняем показатели степеней:

\[ 2\sqrt{3} \sin(x) = 2\cos(x) \]

\[ \sqrt{3} \sin(x) = \cos(x) \]

• Разделим обе части уравнения на \(\cos(x)\), учитывая, что \(\cos(x)
  eq 0\):

\[ \sqrt{3} \tan(x) = 1 \]

\[ \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

• Решим полученное тригонометрическое уравнение:

\[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\):

• Определим, каким значениям \(n\) соответствуют корни на заданном отрезке:

\[ 2\pi \le \frac{\pi}{6} + \pi n \le \frac{7\pi}{2} \]

\[ 2 \le \frac{1}{6} + n \le \frac{7}{2} \]

\[ 2 - \frac{1}{6} \le n \le \frac{7}{2} - \frac{1}{6} \]

\[ \frac{11}{6} \le n \le \frac{20}{6} \]

\[ 1.83 \le n \le 3.33 \]

• Подходят целые значения \(n = 2\) и \(n = 3\). Найдем соответствующие корни:

\[ x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \]

\[ x_2 = \frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} \]

Ответ: a) \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] б) \[ x_1 = \frac{13\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{19\pi}{6} \]