Экзаменационный билет № 19 по геометрии. 7 класс. 1. Объяснить, как построить треугольник по трем сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение. 2. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 3. Задача на тему «Периметр треугольника». Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника. *. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 165°.

Ответ: 9 см - боковая сторона треугольника; построение угла 165° с помощью циркуля и линейки описано ниже.

1. Объяснение построения треугольника по трем сторонам:

   • Чтобы построить треугольник по трем сторонам, нужно убедиться, что сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны. Если это условие выполняется, то треугольник можно построить.
   • Если условие не выполняется, то треугольник построить невозможно.

2. Неравенство треугольника и соотношения между сторонами и углами:

   • Неравенство треугольника гласит, что каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон.
   • Соотношение между сторонами и углами треугольника: против большего угла лежит большая сторона, и наоборот.

3. Задача на тему «Периметр треугольника»:

   • Пусть боковая сторона треугольника равна x см. Тогда периметр исходного треугольника равен 8 + 2x.
   • Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника. Пусть периметр одного из них равен P1, а другого P2. Из условия задачи следует, что P1 = P2 + 2.
   • Сумма периметров этих двух треугольников равна периметру исходного треугольника плюс длина медианы: P1 + P2 = 8 + 2x + 8 = 16 + 2x.
   • Заменим P1 на P2 + 2: P2 + 2 + P2 = 16 + 2x, откуда 2P2 = 14 + 2x и P2 = 7 + x.
   • Тогда P1 = P2 + 2 = 9 + x.
   • Так как медиана делит боковую сторону пополам, то половина боковой стороны равна x/2. Теперь выразим периметры через известные стороны: P1 = 8 + x/2 + 8 = 9 + x.
   • Решаем уравнение относительно x: \[ 8 + \frac{x}{2} + 8 = 9 + x \]
   • Упрощаем уравнение: \[ \frac{x}{2} = 1 \] \[ x = 2 \times 1 \] \[ x = 2 \]
   • Подставим значение x = 2 в P1 = 8 + x/2 + 8 = 9 + x, P1 = 12.

4. *: Построение угла 165° с помощью циркуля и линейки:

   • Сначала строим угол 60°, используя циркуль и линейку.
   • Делим угол 60° пополам, получаем угол 30°.
   • Снова делим угол 30° пополам, получаем угол 15°.
   • Прибавляем угол 15° к углу 150° (180° - 30°), чтобы получить угол 165°.

Ответ: 9 см - боковая сторона треугольника; построение угла 165° с помощью циркуля и линейки описано выше.