Экзаменационный билет № 3 по геометрии. 7 класс. 1. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника. Отличие биссектрисы угла от биссектрисы Д. 2. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 3. Задача на тему «Окружность». На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС- диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС, равны. *. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 135°,

Ответ: хорды AB и AC равны.

Доказательство:

• Угол AOB - прямой, то есть \(\angle AOB = 90^{\circ}\).
• Так как BC - диаметр, то угол BAC - прямой, опирающийся на диаметр (\(\angle BAC = 90^{\circ}\)).
• Рассмотрим треугольник AOB:
• Он прямоугольный (\(\angle AOB = 90^{\circ}\)).
• OA = OB (как радиусы окружности).
• Следовательно, треугольник AOB - равнобедренный прямоугольный.
• Тогда \(\angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ}\).
• Рассмотрим треугольник ABC:
• Он прямоугольный (\(\angle BAC = 90^{\circ}\)).
• \(\angle ABC = \angle OBA = 45^{\circ}\).
• Тогда \(\angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\).
• Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный (так как \(\angle ABC = \angle ACB = 45^{\circ}\)).
• Значит, AB = AC (как стороны равнобедренного треугольника).

Ответ: хорды AB и AC равны.