Экзаменационный билет № 3 по геометрин. 7 класс. 1. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника. Отличие биссектрисы угла от биссектрисы Д. 2. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 3. Задача на тему «Окружность». На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС- диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС, равны. *. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 135°,

Ответ: АВ и АС равны.

1. Т.к. ВС - диаметр, то угол ВАС - прямой (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
2. Рассмотрим треугольник АОВ: он равнобедренный, так как ОА = ОВ (радиусы). Угол АОВ = 90° (по условию). Следовательно, треугольник АОВ - прямоугольный и равнобедренный.
3. Тогда, по теореме Пифагора, \[AB^2 = OA^2 + OB^2 = 2OA^2\] Значит, \[AB = \sqrt{2}OA\]
4. Рассмотрим треугольник АОС: он равнобедренный, так как ОА = ОС (радиусы). Угол АОС = 180° - 90° = 90° (так как углы АОВ и АОС - смежные). Следовательно, треугольник АОС - прямоугольный и равнобедренный.
5. Тогда, по теореме Пифагора, \[AC^2 = OA^2 + OC^2 = 2OA^2\] Значит, \[AC = \sqrt{2}OA\]
6. Таким образом, АВ = АС.

Ответ: АВ и АС равны.