ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №23 1. Даны множества X,Y,ZX={1,2,8,9}; Y={1,2,0}; Z= {1,2,8,6}. Найти множество: Х. 2. Сформулируйте понятие ломаная линия и выделите в нем определяемое и определяющее понятие, родовое понятие и видовое отличие. 3. Построить двумя способами отрицание высказывания: Есть числа, которые делятся на 7 или на 0. Определить истинность высказывания и его отрицания. 4. Сформулируйте обратную, противоположную и обратно-противоположную теоремы к данной: Если к нулю прибавить число, то получится число. 5. Решить задачу: 12 полярников составляют расписание дежурства на ночь. Сколькими способами их можно расположить в списке? 6. В детском обувном магазине за месяц было куплено 20 пар обуви. Продавец проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пары. Эти числа составили следующий ряд данных: 23, 24, 22, 18, 17, 23, 23, 18, 19, 18, 22, 19, 19, 17, 24, 23, 19, 22, 23, 23. Найдите размах выборки, мода выборки, среднее значение выборки, медиану выборки, дисперсию, построить таблицу распределения данных и гистограмму распределения.

1. Даны множества $$X,Y,ZX={1,2,8,9}; Y={1,2,0}; Z={1,2,8,6}$$. Найти множество: X.

Решение:

$$ZX = Z \cup X$$, значит, чтобы найти X, нужно из $$ZX$$ исключить Z.

$$X = ZX \setminus Z = {1,2,8,9} \setminus {1,2,8,6} = {9}$$

Ответ: X = {9}

2. Сформулируйте понятие ломаная линия и выделите в нем определяемое и определяющее понятие, родовое понятие и видовое отличие.

Определяемое понятие: ломаная линия.

Определяющее понятие: геометрическая фигура.

Родовое понятие: многоугольник.

Видовое отличие: состоит из отрезков, последовательно соединенных друг с другом, где каждый отрезок (звено ломаной) соединяется с соседним только в одной точке (вершине ломаной), и никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой.

3. Построить двумя способами отрицание высказывания: Есть числа, которые делятся на 7 или на 0. Определить истинность высказывания и его отрицания.

Отрицание высказывания (способ 1): Нет чисел, которые делятся на 7 или на 0.

Отрицание высказывания (способ 2): Все числа не делятся на 7 и не делятся на 0.

Истинность высказывания: Исходное высказывание истинно, так как, например, число 7 делится на 7.

Истинность отрицания: Отрицание ложно, так как исходное высказывание истинно.

4. Сформулируйте обратную, противоположную и обратно-противоположную теоремы к данной: Если к нулю прибавить число, то получится число.

Исходная теорема: Если к нулю прибавить число, то получится число.

Обратная теорема: Если к числу прибавить ноль, то получится число.

Противоположная теорема: Если к нулю не прибавить число, то не получится число.

Обратно-противоположная теорема: Если к числу не прибавить ноль, то не получится число.

5. Решить задачу: 12 полярников составляют расписание дежурства на ночь. Сколькими способами их можно расположить в списке?

Решение:

Задача на перестановки. Число способов равно числу перестановок из 12 элементов, то есть 12! (12 факториал).

$$12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 479001600$$

Ответ: 479001600

6. В детском обувном магазине за месяц было куплено 20 пар обуви. Продавец проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пары. Эти числа составили следующий ряд данных: 23, 24, 22, 18, 17, 23, 23, 18, 19, 18, 22, 19, 19, 17, 24, 23, 19, 22, 23, 23. Найдите размах выборки, мода выборки, среднее значение выборки, медиану выборки, дисперсию, построить таблицу распределения данных и гистограмму распределения.

• Размах выборки: Максимальное значение: 24. Минимальное значение: 17. Размах: 24 - 17 = 7.
• Мода выборки: 23 (встречается 6 раз).
• Среднее значение выборки: $$\frac{23+24+22+18+17+23+23+18+19+18+22+19+19+17+24+23+19+22+23+23}{20} = \frac{414}{20} = 20.7$$
• Медиана выборки: Сначала упорядочим выборку: 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24. Так как количество элементов четное (20), медиана - среднее арифметическое 10-го и 11-го элементов: $$\frac{22 + 22}{2} = 22$$
• Дисперсия выборки: $$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$$

где $$\bar{x}$$ - среднее значение выборки.

$$D = \frac{(23-20.7)^2 + (24-20.7)^2 + (22-20.7)^2 + (18-20.7)^2 + (17-20.7)^2 + (23-20.7)^2 + (23-20.7)^2 + (18-20.7)^2 + (19-20.7)^2 + (18-20.7)^2 + (22-20.7)^2 + (19-20.7)^2 + (19-20.7)^2 + (17-20.7)^2 + (24-20.7)^2 + (23-20.7)^2 + (19-20.7)^2 + (22-20.7)^2 + (23-20.7)^2 + (23-20.7)^2}{20}$$

$$D = \frac{5.29 + 10.89 + 1.69 + 7.29 + 13.69 + 5.29 + 5.29 + 7.29 + 2.89 + 7.29 + 1.69 + 2.89 + 2.89 + 13.69 + 10.89 + 5.29 + 2.89 + 1.69 + 5.29 + 5.29}{20} = \frac{113.1}{20} = 5.655$$

Таблица распределения данных:

Размер обуви	Частота
17	2
18	3
19	4
22	3
23	6
24	2

Ответ: Размах выборки: 7; Мода: 23; Среднее: 20.7; Медиана: 22; Дисперсия: 5.655.