ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №1 ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ВЫБОРГСКИЙ ТЕХНИКУМ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО И ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА» ДИСЦИПЛИНА: «МАТЕМАТИКА» 1. Натуральные, целые, рациональные числа и действительные числа. 2. Вычислить площадь полной поверхности конуса, если его диаметр равен 12 см, а угол между основанием и образующей равен 30°. 3. Исследовать функцию и построить ее гафик: у 2-х -х² 4. Решите уравнение: 2sin2x + 5cosx-4 = 0 Преподаватель Букашкин А. И.

Задание 1

Задание №1 - перечислить натуральные, целые, рациональные и действительные числа. Натуральные числа - это числа, используемые при счёте предметов (1, 2, 3, ...). Целые числа - это натуральные числа, противоположные им (отрицательные) и ноль (... -2, -1, 0, 1, 2 ...). Рациональные числа - это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m - целое число, а n - натуральное число (например, 1/2, -3/4, 5). Действительные числа - это все рациональные и иррациональные числа (числа, которые нельзя представить в виде дроби, например, √2, π).

Ответ: смотри решение

Задание 2

Дано: конус, диаметр основания d = 12 см, угол между основанием и образующей α = 30°. Найти: площадь полной поверхности конуса S.

Решение: Площадь полной поверхности конуса S вычисляется по формуле: $$S = πr(r + l)$$, где r - радиус основания, l - образующая конуса.

1) Найдем радиус основания: $$r = d/2 = 12/2 = 6 \text{ см}$$.

2) Найдем образующую конуса: Из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом основания и образующей, следует: $$sin(α) = r/l$$ отсюда $$l = r / sin(α) = 6 / sin(30°) = 6 / 0.5 = 12 \text{ см}$$.

3) Найдем площадь полной поверхности конуса: $$S = π \cdot 6 \cdot (6 + 12) = π \cdot 6 \cdot 18 = 108π \approx 339.29 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$108π \approx 339.29 \text{ см}^2$$

Задание 3

Исследовать функцию $$y = 2 - x - x^2$$ и построить ее график. Это квадратичная функция, графиком является парабола.

1. Найдем вершину параболы: $$x_в = -b/2a = -(-1)/(2*(-1)) = -1/2$$. $$y_в = 2 - (-1/2) - (-1/2)^2 = 2 + 1/2 - 1/4 = 9/4 = 2.25$$. Вершина параболы в точке (-0.5; 2.25).
2. Определим направление ветвей: так как коэффициент при x^2 отрицательный (-1), ветви параболы направлены вниз.
3. Найдем точки пересечения с осью OX: $$2 - x - x^2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$$. $$D = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9$$. $$x_1 = (-1 + \sqrt{9})/2 = (-1 + 3)/2 = 1$$. $$x_2 = (-1 - \sqrt{9})/2 = (-1 - 3)/2 = -2$$. Точки пересечения с осью OX: (1; 0) и (-2; 0).
4. Найдем точку пересечения с осью OY: $$y = 2 - 0 - 0^2 = 2$$. Точка пересечения с осью OY: (0; 2).

График:

Ответ: смотри решение

Задание 4

Решить уравнение: $$2sin^2x + 5cosx - 4 = 0$$.

1) Заменим $$sin^2x = 1 - cos^2x$$. Получаем: $$2(1 - cos^2x) + 5cosx - 4 = 0$$

2) Раскроем скобки: $$2 - 2cos^2x + 5cosx - 4 = 0$$

3) Упростим: $$-2cos^2x + 5cosx - 2 = 0$$

4) Умножим на -1: $$2cos^2x - 5cosx + 2 = 0$$

5) Сделаем замену $$t = cosx$$, тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - 5t + 2 = 0$$

6) Найдем корни квадратного уравнения: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$ $$t_1 = (5 + \sqrt{9}) / (2 \cdot 2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2$$ $$t_2 = (5 - \sqrt{9}) / (2 \cdot 2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2$$

7) Вернемся к замене $$t = cosx$$.

а) $$cosx = 2$$. Решений нет, так как $$|cosx| \le 1$$.

б) $$cosx = 1/2$$. $$x = \pm arccos(1/2) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$. $$x = \pm \pi/3 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$