Электрон летит от точки А к точке В. Между этими точками имеется разность потенциалов 100 В. Какую скорость будет иметь электрон в точке В, если его скорость в точке А была равна нулю?

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии. Полная энергия электрона в точке А равна его кинетической энергии, так как потенциальная энергия связана с положением в поле, и мы можем принять ее за ноль в точке А.

Энергия в точке А: \( E_A = K_A + U_A \). По условию, скорость в точке А равна нулю, значит, \( K_A = \frac{1}{2}mv_A^2 = 0 \). Примем \( U_A = 0 \).

Энергия в точке В: \( E_B = K_B + U_B \). Кинетическая энергия в точке В: \( K_B = \frac{1}{2}mv_B^2 \). Разность потенциалов между точками А и В равна \( ΔΦ = Φ_B - Φ_A = -100 \) В (поскольку электрон, будучи отрицательно заряженной частицей, ускоряется при переходе от более низкого потенциала к более высокому, а разность потенциалов дана в 100 В, что означает, что \( Φ_A = 0 \) и \( Φ_B = 100 \) В, или \( Φ_A = 100 \) В и \( Φ_B = 0 \). Если электрон летит от А к В и ускоряется, то \( U_A > U_B \), т.е. \( Φ_A > Φ_B \). Следовательно, \( Φ_A = 100 \) В и \( Φ_B = 0 \), тогда \( ΔΦ = -100 \) В. Работа, совершаемая полем над электроном, равна \( A = q ΔΦ \)).

\( U_B = q Φ_B \). Так как \( Φ_A = 100 \) В и \( Φ_B = 0 \) В, то \( U_A = q Φ_A \) и \( U_B = q Φ_B = q \times 0 = 0 \). Если принять \( Φ_A = 0 \) В, то \( Φ_B = 100 \) В, тогда \( U_A = 0 \) и \( U_B = q \times 100 \). Так как электрон ускоряется, его потенциальная энергия уменьшается, значит, он движется от точки с меньшим потенциалом к точке с большим потенциалом, если он положительный, или от большего к меньшему, если он отрицательный. Электрон имеет отрицательный заряд \( q = -e \).

Если \( Φ_A = 0 \) В и \( Φ_B = 100 \) В, то \( U_A = 0 \) и \( U_B = -e \times 100 \). Тогда \( K_A + U_A = K_B + U_B \) → \( 0 + 0 = \frac{1}{2}mv_B^2 - e \times 100 \), что означает \( v_B = 0 \), что неверно.

Предположим, что \( Φ_A = 100 \) В и \( Φ_B = 0 \) В. Тогда \( U_A = -e \times 100 \) и \( U_B = 0 \).

По закону сохранения энергии: \( K_A + U_A = K_B + U_B \)

\( 0 + (-e \times 100) = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0 \)

\( -100e = \frac{1}{2}mv_B^2 \)

Это дает отрицательную кинетическую энергию, что невозможно. Значит, электрон ускоряется, двигаясь от точки с более низким потенциалом к точке с более высоким потенциалом. Следовательно, \( Φ_A = 0 \) В и \( Φ_B = 100 \) В.

Тогда работа электрического поля равна \( A = q (Φ_A - Φ_B) \) или \( A = q ΔΦ \). Если \( Φ_A = 0 \) и \( Φ_B = 100 \), то \( ΔΦ = 100 \) В. Электрон имеет заряд \( q = -e \). Работа поля над электроном равна \( A = -e \times 100 \). Эта работа равна изменению кинетической энергии:

\( A = K_B - K_A \)

\( -100e = \frac{1}{2}mv_B^2 - 0 \)

Снова получаем отрицательную кинетическую энергию. Давайте переосмыслим условие.

Разность потенциалов \( U = 100 \) В. Это значит, что \( |Φ_A - Φ_B| = 100 \) В. Так как электрон (отрицательно заряженная частица) ускоряется, он должен двигаться в направлении увеличения его кинетической энергии, что происходит при переходе из области с более низким электрическим потенциалом в область с более высоким. Следовательно, \( Φ_B > Φ_A \).

Пусть \( Φ_A = 0 \) В и \( Φ_B = 100 \) В. Тогда работа поля над электроном равна:

\( A = q (Φ_A - Φ_B) \) (работа поля при перемещении заряда из \( Φ_A \) в \( Φ_B \) )

\( A = (-e) (0 - 100) = 100e \)

По теореме об изменении кинетической энергии:

\( A = K_B - K_A \)

\( 100e = \frac{1}{2}mv_B^2 - 0 \)

\( v_B^2 = \frac{2 \times 100e}{m} \)

\( v_B = √{\frac{200e}{m}} \)

где \( e = 1.6 \times 10^{-19} \) Кл (элементарный заряд) и \( m = 9.11 \times 10^{-31} \) кг (масса электрона).

\( v_B = √{\frac{200 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}}} \)

\( v_B = √{\frac{320 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}} \text{ м/с} \)

\( v_B = √{\frac{320}{9.11} \times 10^{12}} \text{ м/с} \)

\( v_B = √{35.126 \times 10^{12}} \text{ м/с} \)

\( v_B = √{3.5126 \times 10^{13}} \text{ м/с} \)

\( v_B \approx 5.926 \times 10^6 \text{ м/с} \)

Ответ: Скорость электрона в точке В составит примерно \( 5.93 \times 10^6 \) м/с.