§ 9. Элементы тригонометрии 9.1. Синус, косинус и тангенс острого угла Вариант 1 1. В треугольнике АВС с прямым углом А (см. рис. 139) выразите синус, косинус и тангенс угла С через стороны треугольника. 2. Найдите синус, косинус и тангенс угла С треугольника АВС с катетами AB=30, AC = 40. 3. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 5, 11. Найдите боковую сторону треугольника. синус угла при основании равен 3 4. Нарисуйте угол, тангенс которого равен - Вариант 2 1. В треугольнике АВС с прямым углом В (см. рис. 140) выразите синус, косинус и тангенс угла С через стороны треугольника. 2. Найдите синус, косинус и тангенс угла С треугольника АВС с катетами AB6, BC = 8. 3. Высота равнобедренной трапеции равна 8, синус угла при основании равен Найдите боковую сторону трапеции. 2 4. Нарисуйте угол, тангенс которого равен. 2-3

Вариант 1

1. В треугольнике ABC с прямым углом A, синус угла C равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус угла C равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс угла C равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Обозначим стороны треугольника следующим образом: BC = a, AC = b, AB = c. Тогда:
   • $$sin(C) = \frac{c}{a}$$
   • $$cos(C) = \frac{b}{a}$$
   • $$tg(C) = \frac{c}{b}$$
2. Дано: AB = 30, AC = 40. Необходимо найти синус, косинус и тангенс угла C.
   • По теореме Пифагора найдем гипотенузу BC: $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$$
   • Теперь найдем синус, косинус и тангенс угла C:
     • $$sin(C) = \frac{AB}{BC} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0,6$$
     • $$cos(C) = \frac{AC}{BC} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0,8$$
     • $$tg(C) = \frac{AB}{AC} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} = 0,75$$
3. Пусть высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна h = 5, а синус угла при основании равен $$\frac{1}{3}$$. Обозначим боковую сторону треугольника как x. Тогда, по определению синуса: $$sin(\alpha) = \frac{h}{x}$$, где \(\alpha\) - угол при основании.
   • $$\frac{1}{3} = \frac{5}{x}$$ $$x = 5 \cdot 3 = 15$$

4. Для того чтобы нарисовать угол, тангенс которого равен $$\frac{3}{7}$$, можно воспользоваться определением тангенса. Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, можно нарисовать прямоугольный треугольник, где противолежащий катет равен 3, а прилежащий катет равен 7. Угол, образованный этими катетами, будет искомым.

         |
         |    /|
         |   / |
         |  /  |
         | /   |
       3 |/    |
         +------
         7
       

Вариант 2

1. В треугольнике ABC с прямым углом B, синус угла C равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус угла C равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс угла C равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Обозначим стороны треугольника следующим образом: AB = c, BC = a, AC = b. Тогда:
   • $$sin(C) = \frac{c}{b}$$
   • $$cos(C) = \frac{a}{b}$$
   • $$tg(C) = \frac{c}{a}$$
2. Дано: AB = 6, BC = 8. Необходимо найти синус, косинус и тангенс угла C.
   • По теореме Пифагора найдем гипотенузу AC: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$
   • Теперь найдем синус, косинус и тангенс угла C:
     • $$sin(C) = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6$$
     • $$cos(C) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0,8$$
     • $$tg(C) = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$$
3. Высота равнобедренной трапеции равна 8, синус угла при основании равен $$\frac{2}{3}$$. Пусть боковая сторона трапеции равна x. Тогда: $$sin(\alpha) = \frac{h}{x}$$, где h - высота, а $$\alpha$$ - угол при основании.
   • $$\frac{2}{3} = \frac{8}{x}$$ $$x = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$$

4. Для того чтобы нарисовать угол, тангенс которого равен $$\frac{2}{5}$$, можно воспользоваться определением тангенса. Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, можно нарисовать прямоугольный треугольник, где противолежащий катет равен 2, а прилежащий катет равен 5. Угол, образованный этими катетами, будет искомым.

       |
       |  /|
       | / |
     2 |/  |
       +-----
       5
       

Ответ: смотри решение