Эллипс. Вывод канонического уравнения. Исследование и построение.

Изучим тему "Эллипс. Вывод канонического уравнения. Исследование и построение".

Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) является постоянной величиной.

Каноническое уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

где

• $$a$$ – большая полуось эллипса,
• $$b$$ – малая полуось эллипса.

Вывод канонического уравнения эллипса:

1. Определяются фокусы эллипса $$F_1(-c;0)$$ и $$F_2(c;0)$$.
2. Обозначается произвольная точка $$M(x;y)$$ на эллипсе.
3. Сумма расстояний от точки $$M$$ до фокусов есть величина постоянная: $$MF_1 + MF_2 = 2a$$, где $$a$$ – большая полуось эллипса.
4. Используется формула расстояния между двумя точками: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$.
5. Выражения для расстояний $$MF_1$$ и $$MF_2$$ подставляются в уравнение суммы расстояний.
6. После алгебраических преобразований и упрощений получается каноническое уравнение эллипса.

Исследование эллипса:

1. Форма и размеры:
   Эллипс вытянут вдоль оси x, если $$a > b$$, и вдоль оси y, если $$b > a$$.
2. Центр:
   Центр эллипса находится в начале координат (0;0).
3. Фокусы:
   Координаты фокусов: $$F_1(-c;0)$$ и $$F_2(c;0)$$, где $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$.
4. Эксцентриситет:
   Эксцентриситет эллипса определяется как $$\varepsilon = \frac{c}{a}$$, где $$\varepsilon < 1$$.
5. Вершины:
   Координаты вершин эллипса: $$(\pm a;0)$$ и $$(0;\pm b)$$.

Построение эллипса:

1. Определить большую и малую полуоси ($$a$$ и $$b$$).
2. Найти координаты фокусов.
3. Найти координаты вершин.
4. Построить прямоугольник с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b.
5. Плавной кривой соединить вершины прямоугольника, чтобы получился эллипс.

Ответ: изучена тема "Эллипс. Вывод канонического уравнения. Исследование и построение".