EN2. B 4 C 8 SAAOB = ? ADIIBC. h = 6 BC=4 AD=9 CD=8

1. Дано: трапеция \( ABCD \), \( AD || BC \), \( BC = 4 \), \( AD = 9 \), \( CD = 8 \), высота \( h = 6 \). Необходимо найти площадь треугольника \( \triangle AOB \), где \( O \) - точка пересечения диагоналей трапеции.

2. Площадь трапеции \( ABCD \) равна: \( S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{4 + 9}{2} \cdot 6 = \frac{13}{2} \cdot 6 = 39 \).

3. Рассмотрим треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \). Они подобны по двум углам (\( \angle BOC = \angle DOA \) как вертикальные, \( \angle OBC = \angle ODA \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \)). Коэффициент подобия \( k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{9} \).

4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, \( \frac{S_{BOC}}{S_{DOA}} = k^2 = (\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81} \).

5. Пусть \( S_{BOC} = 16x \), тогда \( S_{DOA} = 81x \). Площади треугольников \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \) равны. \( S_{ABO} = S_{CDO} \). Обозначим эту площадь за \( S \).

6. Площадь трапеции равна сумме площадей всех четырех треугольников: \( S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{DOA} + S_{ABO} + S_{CDO} \). \( 39 = 16x + 81x + S + S \) \( 39 = 97x + 2S \).

7. Заметим, что \( \frac{S_{BOC}}{S_{ABO}} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{9} \). Значит, \( S_{ABO} = \frac{9}{4} S_{BOC} = \frac{9}{4} \cdot 16x = 36x \). Тогда \( S = 36x \).

8. Подставим \( S = 36x \) в уравнение из пункта 6: \( 39 = 97x + 2 \cdot 36x \) \( 39 = 97x + 72x \) \( 39 = 169x \) \( x = \frac{39}{169} = \frac{3}{13} \).

9. Найдём площадь треугольника \( \triangle AOB \): \( S_{AOB} = 36x = 36 \cdot \frac{3}{13} = \frac{108}{13} \).

Ответ: \( S_{AOB} = \frac{108}{13} \)