Erep ctg a = 1/√3, а Є І ширекте болса, 2 tg a · sin a + 8 cos² a + 4 өрнегін есептеңіз A) 9 B) 8 C) 3 D) 5

Ответ: 9

Разбираемся:

1. Дано ctg α = 1/√3, отсюда tg α = √3.
2. Известно, что α находится в I четверти, где синус и косинус положительны.
3. Найдём значения sin α и cos α, зная тангенс. Используем формулу:

\[\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha\]

4. Подставляем tg α = √3:

\[\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\]

5. Отсюда cos² α = ¼, значит cos α = ½ (так как α в I четверти, косинус положителен).
6. Теперь найдем sin α, зная tg α и cos α:

\[\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \Rightarrow \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha\]

7. Подставляем значения:

\[\sin \alpha = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

8. Теперь подставим найденные значения в выражение:

\[2 \operatorname{tg} \alpha \cdot \sin \alpha + 8 \cos^2 \alpha + 4\]

9. Подставляем:

\[2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cdot \frac{1}{4} + 4 = 2 \cdot \frac{3}{2} + 2 + 4 = 3 + 2 + 4 = 9\]

Ответ: 9