95 есеп Өрнектің мәнін табыңыз: A) 8 B) 5 C) 4 D) -4

Рассмотрим выражение:

$$\left(tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right)^2 - \left(ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)+ctg(\pi+\alpha)\right)^2 + tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) + tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)$$

Упростим тригонометрические функции, используя формулы приведения:

1. $$tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = ctg(\alpha)$$ $$ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -tg(\alpha)$$ $$ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = -tg(\alpha)$$ $$ctg(\pi+\alpha) = ctg(\alpha)$$ $$tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = ctg(\alpha)$$ $$tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = -ctg(\alpha)$$
2. Подставим в исходное выражение: $$\left(ctg(\alpha) - (-tg(\alpha))\right)^2 - \left(-tg(\alpha)+ctg(\alpha)\right)^2 + ctg(\alpha) - ctg(\alpha) = $$ $$\left(ctg(\alpha) + tg(\alpha)\right)^2 - \left(ctg(\alpha)-tg(\alpha)\right)^2 + 0 =$$ $$ctg^2(\alpha) + 2ctg(\alpha)tg(\alpha) + tg^2(\alpha) - (ctg^2(\alpha) - 2ctg(\alpha)tg(\alpha) + tg^2(\alpha)) =$$ $$ctg^2(\alpha) + 2ctg(\alpha)tg(\alpha) + tg^2(\alpha) - ctg^2(\alpha) + 2ctg(\alpha)tg(\alpha) - tg^2(\alpha) = $$ $$4ctg(\alpha)tg(\alpha) = 4 \cdot \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = 4$$

Следовательно, значение выражения равно 4.

Ответ: C) 4