Есептеңіз: \(\frac{sin \alpha \cdot cos \alpha}{sin^2 \alpha - cos^2 \alpha}\), мұндағы \(ctg\alpha = \frac{3}{4}\)

Есептеу үшін тригонометриялық функцияларды және берілген мәнді пайдаланамыз.

Берілген өрнекті түрлендірейік:

$$\frac{sin \alpha \cdot cos \alpha}{sin^2 \alpha - cos^2 \alpha} = \frac{sin \alpha \cdot cos \alpha}{-(cos^2 \alpha - sin^2 \alpha)} = -\frac{sin \alpha \cdot cos \alpha}{cos 2\alpha}$$

Енді \(ctg \alpha = \frac{3}{4}\) ескере отырып, \(sin \alpha\) және \(cos \alpha\) мәндерін табайық.

\(ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{3}{4}\) болғандықтан, \(cos \alpha = \frac{3}{4} sin \alpha\). Осыны негізге ала отырып:

$$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$ $$sin^2 \alpha + (\frac{3}{4} sin \alpha)^2 = 1$$ $$sin^2 \alpha + \frac{9}{16} sin^2 \alpha = 1$$ $$\frac{25}{16} sin^2 \alpha = 1$$ $$sin^2 \alpha = \frac{16}{25}$$ $$sin \alpha = \frac{4}{5}$$

Сол себепті:

$$cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$$

Енді, \(cos 2\alpha\) табамыз:

$$cos 2\alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha = (\frac{3}{5})^2 - (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$$

Осы мәндерді өрнекке қоямыз:

$$- \frac{sin \alpha \cdot cos \alpha}{cos 2\alpha} = - \frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}}{-\frac{7}{25}} = \frac{\frac{12}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{12}{7}$$

Жауабы:

В) \(\frac{12}{7}\)

Ответ: В) \(\frac{12}{7}\)