Если (а) - бесконечно малая последовательность и постоянная СеR (Са) последовательность Ответы О неограниченная О бесконечно малая О ограниченная О бесконечно большая

Анализ задания

Это задание по математическому анализу, затрагивающее тему последовательностей. Нам дано, что \(\alpha_n\) - бесконечно малая последовательность, и нужно определить, какой будет последовательность \(C \alpha_n\), где C - постоянная.

Решение

Давай разберем по порядку, что значит, что последовательность \(\alpha_n\) является бесконечно малой.

Определение: Последовательность \(\alpha_n\) называется бесконечно малой, если для любого \(\epsilon > 0\) существует номер N, такой что для всех \(n > N\) выполняется неравенство \(|\alpha_n| < \epsilon\).

Теперь рассмотрим последовательность \(C \alpha_n\), где C - постоянная.

Нужно показать, что для любого \(\epsilon' > 0\) существует номер N', такой что для всех \(n > N'\) выполняется неравенство \(|C \alpha_n| < \epsilon'\).

Мы можем записать \(|C \alpha_n| = |C| |\alpha_n|\).

Пусть дано \(\epsilon' > 0\). Тогда выберем \(\epsilon = \frac{\epsilon'}{|C|}\), если \(C
eq 0\). Если C = 0, то \(C \alpha_n = 0\) для всех n, и утверждение очевидно верно.

Так как \(\alpha_n\) - бесконечно малая последовательность, то для выбранного \(\epsilon\) существует номер N, такой что для всех \(n > N\) выполняется неравенство \(|\alpha_n| < \epsilon\).

Тогда для всех \(n > N\) выполняется \(|C \alpha_n| = |C| |\alpha_n| < |C| \epsilon = |C| \frac{\epsilon'}{|C|} = \epsilon'\).

Таким образом, последовательность \(C \alpha_n\) также является бесконечно малой.

Ответ: бесконечно малая

Молодец! У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты обязательно добьешься больших успехов в математике!