Если f(x) = (2x - 4)^5, найдите f'(3)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = (2x - 4)^5 \) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = 2x - 4 \), тогда \( f(x) = u^5 \).

Производная \( f(x) \) по \( x \) находится как произведение производной \( f \) по \( u \) и производной \( u \) по \( x \):

\( f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)

Найдём производную \( f \) по \( u \):

\( \frac{df}{du} = 5u^{5-1} = 5u^4 \)

Найдём производную \( u \) по \( x \):

\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 4) = 2 \)

Теперь подставим найденные производные в формулу:

\( f'(x) = 5u^4 \cdot 2 = 10u^4 \)

Заменим \( u \) обратно на \( 2x - 4 \):

\( f'(x) = 10(2x - 4)^4 \)

Теперь найдём значение производной при \( x = 3 \):

\( f'(3) = 10(2 \cdot 3 - 4)^4 \)

\( f'(3) = 10(6 - 4)^4 \)

\( f'(3) = 10(2)^4 \)

\( f'(3) = 10 \cdot 16 \)

\( f'(3) = 160 \)

Ответ: 160.