Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Решение:

Пусть x — длина ребра куба.

Объем куба вычисляется по формуле: \( V = x^3 \).

Если увеличить ребро на 1, новая длина ребра будет (x + 1).

Новый объем куба: \( V_{new} = (x + 1)^3 \).

По условию задачи, новый объем увеличился на 19:

\[ (x + 1)^3 - x^3 = 19 \]

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \):

\[ (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - x^3 = 19 \]\[ 3x^2 + 3x + 1 = 19 \]\[ 3x^2 + 3x + 1 - 19 = 0 \]\[ 3x^2 + 3x - 18 = 0 \]

Разделим все члены уравнения на 3:

\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) = \( 1^2 - 4 + 1 + (-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Так как длина ребра куба не может быть отрицательной, то ребро куба равно 2.

Проверка:

Исходный объем: \( 2^3 = 8 \).

Новый объем: \( (2 + 1)^3 = 3^3 = 27 \).

Разница: \( 27 - 8 = 19 \). Условие выполнено.

Ответ: ребро куба равно 2.