Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 90 см². Если же длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 20 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Пусть длина прямоугольника равна \( x \) см, а ширина — \( y \) см. Тогда его площадь равна \( xy \) см².

По условию задачи составим систему уравнений:

1. Если каждую сторону увеличить на 3 см, площадь увеличится на 90 см²:
   \( (x+3)(y+3) = xy + 90 \)
2. Если длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, площадь увеличится на 20 см²:
   \( (x+5)(y-2) = xy + 20 \)

Раскроем скобки в первом уравнении:

\( xy + 3x + 3y + 9 = xy + 90 \)
\( 3x + 3y = 90 - 9 \)
\( 3x + 3y = 81 \)
Разделим обе части на 3:

\( x + y = 27 \) (1)

Раскроем скобки во втором уравнении:

\( xy - 2x + 5y - 10 = xy + 20 \)
\( -2x + 5y = 20 + 10 \)
\( -2x + 5y = 30 \) (2)

Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 27 - y \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( -2(27 - y) + 5y = 30 \)
\( -54 + 2y + 5y = 30 \)
\( 7y = 30 + 54 \)
\( 7y = 84 \)
\( y = \frac{84}{7} \)
\( y = 12 \)

Теперь найдём \( x \), подставив значение \( y \) в уравнение \( x = 27 - y \):

\( x = 27 - 12 \)
\( x = 15 \)

Итак, длина прямоугольника равна 15 см, а ширина — 12 см.

Проверка:

• Первое условие: \( (15+3)(12+3) = 18 \times 15 = 270 \). Изначальная площадь \( 15 \times 12 = 180 \). \( 270 - 180 = 90 \). Верно.
• Второе условие: \( (15+5)(12-2) = 20 \times 10 = 200 \). Изначальная площадь \( 15 \times 12 = 180 \). \( 200 - 180 = 20 \). Верно.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.