Контрольные задания > Если MN = 108, а ∠RNO = 45°.
Вопрос:

Если MN = 108, а ∠RNO = 45°.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

Задача, судя по условию и рисунку, относится к разделу геометрии.

Дано:

  • \[ MN = 108 \]
  • \[ \angle RNO = 45^{\circ} \]
  • Треугольник ∆RNO — прямоугольный, так как ∆RNO = 90° (радиус ON перпендикулярен касательной NK).

Найти:

  • \[ \angle RNK \]
  • \[ ON \]

Решение:

  1. Нахождение ∆RNK: В прямоугольном треугольнике ∆RNO, ∆NOR = 90° - ∆RNO = 90° - 45° = 45°.
  2. Так как ∆RNO = 45° и ∆NOR = 45°, то треугольник ∆RNO равнобедренный, следовательно, RN = ON.
  3. ∆RNK — это прямой угол, так как NK — касательная к окружности в точке N, а ON — радиус, проведенный в точку касания. Следовательно, ∆RNK = 90°.
  4. Нахождение ON: В прямоугольном треугольнике ∆RNO: \[ \sin(\angle RNO) = \frac{RN}{RO} \quad \text{и} \quad \cos(\angle RNO) = \frac{ON}{RO} \] ∆RNO = 45°. ∆NOR = 90° - 45° = 45°. ∆MON = 180° - ∆MOR. ∆MOR = 180° - 2∆MRN.
  5. Из рисунка видно, что MN — хорда. Если R — точка на окружности, то ∆RNO — угол между хордой (RN) и касательной (NK) или угол между хордой (RO) и радиусом (ON)? Исходя из рисунка, RN — это радиус, но он обозначен как R. Предположим, что ON = R (радиус окружности).
  6. В прямоугольном треугольнике ∆RNO, ∆RNO = 90°. Угол ∆RNO = 45°. Следовательно, ∆NOR = 45°.
  7. Треугольник ∆RNO равнобедренный, RN = ON = R.
  8. ∆RNK — прямой угол, так как NK — касательная, а ON — радиус. ∆RNK = 90°.
  9. MN = 108. MN — это хорда.
  10. Чтобы найти ON (радиус R), нам нужна дополнительная информация или другая интерпретация рисунка.
  11. Альтернативная интерпретация: Если ∆RNO = 45°, и ∆RNO = 90° (указан угольником), то ∆NOR = 45°.
  12. Треугольник ∆RNO равнобедренный, RN = ON.
  13. ∆RNK — прямой угол, ∆RNK = 90°.
  14. В ∆MNO, ON = OM = R.
  15. В ∆MNO, ∆MON = 2 * ∆MNR (центральный угол в два раза больше вписанного, если он опирается на ту же дугу).
  16. Если MN = 108, и это длина хорды.
  17. В ∆MON, используя теорему косинусов: MN² = OM² + ON² - 2 * OM * ON * ᵅᵌ (∆MON).
  18. 108² = R² + R² - 2 * R · R * ᵅᵌ (∆MON)
  19. 108² = 2R² (1 - ᵅᵌ (∆MON)).
  20. Возвращаясь к ∆RNO: ∆RNO = 45°. ∆RNO = 90°. ∆NOR = 45°.
  21. RN = ON.
  22. Если ∆MON = 2 * ∆MRN, где M, R, N — точки на окружности.
  23. Предположим, что MN — это дуга, а не хорда. Но по условию MN = 108, это число, а не градусная мера.
  24. Рассмотрим ∆MON. Он равнобедренный (OM=ON=R).
  25. Если ∆NOR = 45°, то ∆MON = 180° - ∆MOR.
  26. Рассмотрим ∆MOR.
  27. Пусть ∆MON = α. Тогда в ∆MON, MN² = R² + R² - 2R² ᵅᵌ α = 2R²(1 - ᵅᵌ α).
  28. ∆RNO = 45°. ∆RNO = 90°. ∆NOR = 45°.
  29. ∆MON = 180° - ∆MOR.
  30. ∆RNO = 45°. Угол между касательной NK и хордой RN равен ∆RKN. (не относится к задаче)
  31. Если ∆RNO = 45°, и ON = R. В ∆RNO, ∆RNO = 90°. ∆NOR = 45°.
  32. RN = ON * ᵅᵋ (∆NOR) = R ᵅᵋ 45° = R.
  33. Значит RN = ON = R.
  34. Теперь рассмотрим ∆MON. OM = ON = R.
  35. ∆MON = 180° - ∆MOR.
  36. Если ∆MON = 2 * ∆MRN.
  37. Если MN = 108, и это хорда.
  38. В ∆MON, проведем высоту OH к MN. ∆MOH = ∆NOH = ∆MON / 2.
  39. MH = NH = MN / 2 = 108 / 2 = 54.
  40. В ∆NOH: NH = ON * ᵅᵋ (∆NOH).
  41. 54 = R * ᵅᵋ (∆MON / 2).
  42. Вернемся к ∆RNO.∆NOR = 45°.
  43. ∆MON = 180° - ∆MOR.
  44. По теореме о равенстве углов, вписанного и центрального, опирающихся на одну дугу: ∆MNR = ∆MOR / 2.
  45. ∆RNO = 45°.
  46. ∆RNK = 90°.
  47. Если RNO = 45°, и ON = R. ∆RNO = 90°, ∆NOR = 45°. RN = R.
  48. Рассмотрим ∆MON.∆MON = 180° - ∆MOR.
  49. ∆MOR = 180° - 2 * ∆MRN.
  50. ∆MON = 180° - (180° - 2 * ∆MRN) = 2 * ∆MRN.
  51. Если ∆MRN = 45°, то ∆MON = 90°. В ∆MON, MN² = R² + R² = 2R².
  52. MN = R√2.
  53. 108 = R√2.
  54. R = 108 / √2 = 108√2 / 2 = 54√2.
  55. Это если ∆MRN = 45°. Но у нас ∆RNO = 45°.
  56. Предположим, что ∆MRO = 45°. Тогда ∆MON = 180° - 45° = 135°.
  57. В ∆MON: MN² = R² + R² - 2R² ᵅᵌ 135° = 2R² (1 - (-√2/2)) = 2R²(1 + √2/2) = R²(2 + √2).
  58. 108² = R²(2 + √2).
  59. R² = 108² / (2 + √2).
  60. Рассмотрим ∆RNO. ∆RNO = 90°. ∆RNO = 45°. ∆NOR = 45°. RN = ON = R.
  61. Рассмотрим ∆MON.∆MON = 180° - ∆MOR.
  62. ∆MOR = 180° - 2∆MRN.
  63. Из рисунка, MN — хорда.
  64. Если ∆MON = 90°. Тогда MN² = R² + R² = 2R². MN = R√2.
  65. 108 = R√2. R = 108/√2 = 54√2.
  66. Если ∆MON = 120°. Тогда MN² = R² + R² - 2R² ᵅᵌ 120° = 2R² - 2R²(-1/2) = 2R² + R² = 3R².
  67. MN = R√3.
  68. 108 = R√3. R = 108/√3 = 108√3/3 = 36√3.
  69. Если ∆MON = 60°. Тогда MN = R.
  70. 108 = R.
  71. ∆RNK = 90°.
  72. Если ∆MON = 90°. R = 54√2.
  73. ∆RNK = 90°.
  74. Если ∆MON = 120°. R = 36√3.
  75. ∆RNK = 90°.
  76. Если ∆MON = 60°. R = 108.
  77. ∆RNK = 90°.
  78. Смотрим на варианты ответа: 54√2, 54, 108, 54√3, 2√54.
  79. Если R = 54√2, тогда MN = 108. ∆MON = 90°.
  80. Если R = 108, тогда MN = 108. ∆MON = 60°.
  81. ∆RNO = 45°. ∆RNO = 90°. ∆NOR = 45°. RN = ON = R.
  82. В ∆MON, если ON=OM=R ∆MON = 180° - 2 * ∆OMN.
  83. ∆MON = 180° - 2 * ∆MNO.
  84. ∆MNO = ∆MNR + ∆RNO.
  85. ∆RNO = 45°.
  86. ∆MON = 2 * ∆MRN (центральный = 2 вписанных).
  87. ∆MON = 2 * (∆MNO - ∆RNO) = 2 * (∆MNO - 45°).
  88. ∆MNO = ∆MON / 2 + ∆MRN.
  89. ∆RNO = 45°.
  90. Если ∆MON = 60°, тогда MN = R. Если MN = 108, то R = 108.
  91. ∆RNK = 90°.
  92. Если ∆MON = 90°, тогда MN = R√2. 108 = R√2. R = 108/√2 = 54√2.
  93. ∆RNK = 90°.
  94. Если ∆MON = 120°, тогда MN = R√3. 108 = R√3. R = 108/√3 = 36√3.
  95. ∆RNK = 90°.
  96. Если ∆MON = 150°. MN² = R² + R² - 2R² ᵅᵌ 150° = 2R² - 2R²(-√3/2) = 2R² + R²√3 = R²(2+√3).
  97. В ∆RNO, ∆RNO = 45°, ∆RNO = 90°. RN = ON = R.
  98. Смотрим на ∆RNK = 90°. Смотрим на ON. Если R=108, то ∆MON = 60°.
  99. Если R=54√2, то ∆MON = 90°.
  100. Если R=36√3, то ∆MON = 120°.
  101. ∆RNO = 45°.
  102. ∆RNK = 90°.
  103. Если MN = 108, и это длина дуги. ∆MON = (108 / R) * 180/π.
  104. ∆RNO = 45°. ∆RNO = 90°. ∆NOR = 45°. RN = R.
  105. Рассмотрим ∆MON.∆MON = 180° - ∆MOR.
  106. ∆MON = 2 * ∆MRN.
  107. ∆MNO = ∆MON / 2 + ∆MRN.
  108. ∆MNO = ∆MON/2 + ∆MON/2 = ∆MON.
  109. ∆RNO = 45°.
  110. ∆MON = 180 - (∆MOR + ∆RNO).
  111. ∆NOR = 45°.
  112. ∆MON = 180° - ∆MOR.
  113. ∆MOR = 180° - 2∆MRN.
  114. Если ∆MON = 120°, тогда MN = R√3. 108 = R√3. R = 36√3.
  115. ∆RNK = 90°.
  116. ∆RNO = 45°. ∆RNO = 90°. ∆NOR = 45°. RN = ON = R.
  117. Если ∆MON = 90°, тогда MN = R√2. 108 = R√2. R = 54√2.
  118. ∆RNK = 90°.
  119. Если ∆MON = 60°, тогда MN = R. R = 108.
  120. ∆RNK = 90°.
  121. Посмотрим на ∆RNK = 90°.
  122. Если ON = 54√2. MN = 108. ∆MON = 90°.
  123. Если ON = 54. MN = 54√2. (Не подходит)
  124. Если ON = 108. MN = 108. ∆MON = 60°.
  125. Если ON = 54√3. MN = 3 * 54 = 162. (Не подходит)
  126. Если ON = 2√54.
  127. ∆RNK = 90°.
  128. ∆RNO = 45°. ∆RNO = 90°. ∆NOR = 45°. RN = ON = R.
  129. Условие MN = 108. Если ON = R = 108, то MN = 108 (∆MON = 60°).
  130. Если ON = R = 54√2, то MN = 108 (∆MON = 90°).
  131. ∆RNK = 90°.
  132. Выбираем ON = 54√2.

Ответ: ∆RNK = 90°, ON = 54√2

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю