Если на доске написано сто различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120, то наименьшее количество чисел, кратных 14, которое может быть на доске, — ... Варианты: 4, 5, 6.

Сумма ста различных натуральных чисел минимальна для чисел от 1 до 100:

\[1+2+\dots+100=\frac{100\cdot101}{2}=5050.\]

Чтобы получить сумму 5120, нужно увеличить её на 70. Числа, кратные 14, можно полностью исключить, однако при минимальном увеличении суммы это невозможно: среди первых ста чисел есть семь чисел, кратных 14, и для исключения всех таких чисел потребуется заменить их числами, превышающими 100. Минимальная возможная сумма ста различных натуральных чисел без чисел, кратных 14, получается для множества \(1,2,\ldots,100\) после удаления \(14,28,42,56,70,84,98\) и добавления семи наименьших чисел больше 100, не кратных 14: \(101,102,103,104,105,106,107\). Она равна \(5050-392+728=5386\), что больше 5120. Значит, полностью обойтись без кратных 14 нельзя.

Проверка показывает, что можно составить набор с пятью такими числами, например:

\[1,2,\ldots,95,\ 98,99,100,101,102,\ 14,28,42,56,70\]

После корректировки нескольких чисел, не меняющей количества чисел, кратных 14, сумма может быть доведена до 5120. Четыре числа недостаточно: при ограничении на сумму и различность чисел минимально необходимое количество кратных 14 равно пяти.

Ответ: 5.