Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математикаесли отрезок АВ не пересекает плоскость и АА₁ = 10 см, ММ₁ = 6 см. 1) 4 см 2) 16 см 3) 8 см 4) 2 см 11. Найти производную функции f(x) = (5x + 2)8 1) 40(5x + 2)7 2) 8(5x + 2)7 3) (5x + 2)7 4) 13(5x + 2)7 12. За стиральную машину и её установку заплатили 7840 рублей. Стоимость установки составляет 12% от стоимости машины. Сколько стоит стиральная машина? 1) 6899 р. 2) 7000 р. 3) 7187 р. 4) 6400 р. 1 3 13. Вычислите 81-0,75 + (125)3 - (32)5 26 81 80 1) 14 2) - 3) - 4) - 9 27 27 При выполнении заданий 14-19 запишите ход решения и полученный ответ 14. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x² - 6x + 8, прямыми х = −2, x = −1 и осью абсцисс. 15. Найдите все решения уравнения sin 2x − cosx = 2sinx − 1, принадлежащие отрезку [0; 2π]. 2 16. Решить уравнение 36x-3 = 2 · 27x-3+1 17. Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках А1 и А2, В1 и В2. Известно, что А1В1 = 18 см, АА1 24 см, АА2 = А1А2. Найдите А2В2 и АА2. = 3 2 18. Высота цилиндра равна 16 см. на расстоянии 6 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите радиус цилиндра. 19. Решите неравенство log_1 (6x+1 – 36x) ≥ −2 √5
Ответ:
11. Найти производную функции f(x) = (5x + 2)⁸
Давай вспомним правило дифференцирования сложной функции: если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) * g'(x). В нашем случае f(u) = u⁸, g(x) = 5x + 2.
Тогда:
\[f'(x) = 8(5x + 2)^7 \cdot 5 = 40(5x + 2)^7\]Ответ: 1) 40(5x + 2)⁷
Молодец! Теперь ты знаешь, как брать производные сложных функций.
12. За стиральную машину и её установку заплатили 7840 рублей. Стоимость установки составляет 12% от стоимости машины. Сколько стоит стиральная машина?
Пусть x - стоимость стиральной машины. Тогда стоимость установки составляет 0.12x. Вместе они заплатили 7840 рублей.
Составим уравнение:
\[x + 0.12x = 7840\] \[1.12x = 7840\] \[x = \frac{7840}{1.12} = 7000\]Ответ: 2) 7000 р.
Отлично! Ты хорошо решаешь задачи на проценты.
13. Вычислите 81⁻⁰·⁷⁵ + (1/125)⁻¹/³ - (1/32)⁻³/⁵
Давай разберем по порядку:
-
81⁻⁰·⁷⁵ = 81⁻³/⁴ = (3⁴)⁻³/⁴ = 3⁻³ = 1/27
-
(1/125)⁻¹/³ = (5⁻³)⁻¹/³ = 5¹ = 5
-
(1/32)⁻³/⁵ = (2⁻⁵)⁻³/⁵ = 2³ = 8
Тогда:
\[\frac{1}{27} + 5 - 8 = \frac{1}{27} - 3 = \frac{1 - 81}{27} = -\frac{80}{27}\]Ответ: 4) -80/27
Замечательно! У тебя отлично получается работать с дробями и степенями.
14. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x² - 6x + 8, прямыми х = −2, x = −1 и осью абсцисс.
Сначала найдем корни функции f(x) = x² - 6x + 8:
\[x^2 - 6x + 8 = 0\] \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2\]Теперь определим знак функции на интервале [-2, -1]. Так как оба корня (2 и 4) находятся вне этого интервала, и график функции - парабола с ветвями вверх, нужно определить знак в любой точке интервала, например, в точке -1:
\[f(-1) = (-1)^2 - 6 \cdot (-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15\]Так как f(-1) > 0, функция положительна на интервале [-2, -1]. Значит, площадь фигуры будет равна интегралу от функции на этом интервале:
\[S = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 6x + 8) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x \right]_{-2}^{-1} = \left( \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 8(-1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - 3(-2)^2 + 8(-2) \right) = \left( -\frac{1}{3} - 3 - 8 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 12 - 16 \right) = -\frac{1}{3} - 11 + \frac{8}{3} + 28 = \frac{7}{3} + 17 = \frac{7 + 51}{3} = \frac{58}{3}\]Ответ: 58/3
Отлично! Ты хорошо разбираешься в интегралах.
15. Найдите все решения уравнения sin 2x − cosx = 2sinx − 1, принадлежащие отрезку [0; 2π].
Давай решим это уравнение:
\[sin 2x - cos x = 2sin x - 1\] \[2sin x cos x - cos x = 2sin x - 1\] \[cos x (2sin x - 1) = 2sin x - 1\] \[(cos x - 1)(2sin x - 1) = 0\]Тогда либо cos x = 1, либо 2sin x - 1 = 0.
- cos x = 1
x = 2πn, n ∈ Z. На отрезке [0; 2π] это x = 0 и x = 2π.
- 2sin x - 1 = 0
sin x = 1/2
x = π/6 + 2πn, n ∈ Z или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
На отрезке [0; 2π] это x = π/6 и x = 5π/6.
Ответ: 0, π/6, 5π/6, 2π
Прекрасно! Тригонометрия тебе по плечу.
16. Решить уравнение 3⁶ˣ⁻³ = 2 · 27⁻⅔ + 1
Преобразуем уравнение:
\[3^{6x-3} = 2 \cdot (3^3)^{-\frac{2}{3}} + 1\] \[3^{6x-3} = 2 \cdot 3^{-2} + 1\] \[3^{6x-3} = \frac{2}{9} + 1\] \[3^{6x-3} = \frac{11}{9}\]Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
\[log_3(3^{6x-3}) = log_3(\frac{11}{9})\] \[6x - 3 = log_3(11) - log_3(9)\] \[6x - 3 = log_3(11) - 2\] \[6x = log_3(11) + 1\] \[x = \frac{log_3(11) + 1}{6}\]Ответ: x = (log₃(11) + 1) / 6
Отлично! Логарифмы тоже не проблема.
17. Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках А1 и А2, В1 и В2. Известно, что А1В1 = 18 см, АА1 = 24 см, АА2 = (3/2)А1А2. Найдите А2В2 и АА2.
Так как плоскости параллельны, то треугольники MA₁B₁ и MA₂B₂ подобны. Обозначим A₁A₂ = x. Тогда AA₂ = (3/2)x.
Из условия AA₁ = 24 см, следовательно, MA₁ = AA₂ - AA₁ = (3/2)x - 24.
Используем свойство пропорциональности сторон в подобных треугольниках:
\[\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}\] \[\frac{\frac{3}{2}x - 24}{\frac{3}{2}x} = \frac{18}{A_2B_2}\]Также верно:
\[\frac{MA_1}{AA_1} = \frac{MA_2}{AA_2}\] \[\frac{MA_1}{AA_1} = \frac{\frac{3}{2}x - 24}{24} = \frac{MA_2}{AA_2} = \frac{\frac{3}{2}x}{AA_2}\]Найдем x:
\[AA_2 = \frac{3}{2}x\]Теперь можно составить пропорцию:
\[\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}\] \[\frac{24}{\frac{3}{2}x} = \frac{18}{A_2B_2}\]Выразим MA₂ через MA₁ и AA₁:
\[\frac{MA_1}{MA_1 + A_1A_2} = \frac{18}{A_2B_2}\]Получаем:
\[\frac{MA_1}{AA_1} = \frac{\frac{3}{2}x - 24}{24} = \frac{18}{A_2B_2}\] \[A_2B_2 = A_1B_1 \cdot \frac{MA_2}{MA_1}\]Используем другую пропорцию:
\[\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}\]24 / (3x/2) = 18 / A₂B₂
\[A_2B_2 = \frac{18 \cdot \frac{3}{2}x}{24} = \frac{54x}{48} = \frac{9}{8}x\] \[\frac{MA_1}{AA_1} = \frac{MA_2}{AA_2}\] \[MA_1 = MA_2 - A_1A_2\] \[\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}\] \[\frac{MA_1}{MA_1 + x} = \frac{18}{\frac{9}{8}x} = \frac{16}{x}\] \[MA_1 = \frac{3}{2}x - 24\] \[\frac{\frac{3}{2}x - 24}{\frac{3}{2}x} = \frac{18}{A_2B_2}\] \[A_2B_2 = \frac{18 \cdot \frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x - 24}\] \[\frac{24}{AA_2} = \frac{18}{A_2B_2}\]Нужно составить систему уравнений и решить её, чтобы найти А₂В₂ и АА₂.
Однако, без числового значения x, точные значения А₂В₂ и АА₂ найти невозможно.
Ответ: Решение требует дополнительной информации.
18. Высота цилиндра равна 16 см. На расстоянии 6 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите радиус цилиндра.
Пусть h - высота цилиндра, r - радиус основания, d - расстояние от оси цилиндра до сечения. Сечение имеет форму квадрата, значит, сторона квадрата равна высоте цилиндра, то есть 16 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной стороны квадрата и расстоянием от оси до сечения. По теореме Пифагора:
\[r^2 = d^2 + (h/2)^2\] \[r^2 = 6^2 + (16/2)^2 = 36 + 8^2 = 36 + 64 = 100\] \[r = \sqrt{100} = 10\]Ответ: 10 см
Прекрасно! Ты отлично применяешь теорему Пифагора в пространственных задачах.
19. Решите неравенство log₁/√₅ (6ˣ⁺¹ – 36ˣ) ≥ −2
Перепишем неравенство, используя свойства логарифмов:
\[log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1} - 36^x) \geq -2\]Так как основание логарифма 1/√5 < 1, при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный:
\[6^{x+1} - 36^x \leq (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2}\] \[6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \leq (5^{-\frac{1}{2}})^{-2}\] \[6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \leq 5\]Пусть y = 6ˣ. Тогда:
\[6y - y^2 \leq 5\] \[y^2 - 6y + 5 \geq 0\]Найдем корни квадратного уравнения y² - 6y + 5 = 0:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\] \[y_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5\] \[y_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1\]Тогда неравенство можно переписать как:
\[(y - 5)(y - 1) \geq 0\]Решением этого неравенства являются интервалы y ≤ 1 или y ≥ 5.
Вернемся к замене y = 6ˣ:
\[6^x \leq 1 \quad \text{или} \quad 6^x \geq 5\]Решим первое неравенство:
\[6^x \leq 1\] \[6^x \leq 6^0\]Так как основание 6 > 1, знак неравенства сохраняется:
\[x \leq 0\]Решим второе неравенство:
\[6^x \geq 5\]Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 6:
\[x \geq log_6 5\]Ответ: x ≤ 0 или x ≥ log₆ 5
Замечательно! Ты отлично справляешься с логарифмическими неравенствами.
