Если ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n-1}{n+5}\right)^n\) расходится, то найдите |a₁ – a₃|, а если ряд сходится, то найдите |a₂ – a₃| Варианты ответов: 1) \(\frac{1}{3}\); 2) \(\frac{2}{3}\); 3) \(\frac{2}{7}\); 4) \(\frac{25}{49}\); 5) \(\frac{9}{94}\). Выберите один ответ:

Разбираемся:

Пошаговое решение:

Для определения сходимости ряда воспользуемся признаком Коши:

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{3n-1}{n+5}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n-1}{n+5} = \lim_{n \to \infty} \frac{3-\frac{1}{n}}{1+\frac{5}{n}} = \frac{3}{1} = 3\]

Так как предел равен 3, что больше 1, ряд расходится.

Значит, нам нужно найти |a₁ – a₃|.

Найдем a₁ и a₃:

\[a_1 = \left(\frac{3(1)-1}{1+5}\right)^1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

\[a_3 = \left(\frac{3(3)-1}{3+5}\right)^3 = \left(\frac{8}{8}\right)^3 = 1^3 = 1\]

Тогда:

\[|a_1 - a_3| = |\frac{1}{3} - 1| = |\frac{1}{3} - \frac{3}{3}| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\)