390. Если сжимать пружину силой 4 Н, то её длина будет равна 8 см, а если растягивать силой 7 Н, то её длина будет равна 13,5 см. Чему равна длина недеформированной пружины?

Для решения задачи используем закон Гука и составим систему уравнений, описывающих деформацию пружины при сжатии и растяжении.

Пусть $$l_0$$ - длина недеформированной пружины, а $$k$$ - жёсткость пружины. Закон Гука для сжатия и растяжения пружины имеет вид: $$F = k \cdot |\Delta l|$$, где $$F$$ - сила, $$k$$ - жёсткость пружины, $$|\Delta l|$$ - модуль изменения длины пружины.

В случае сжатия пружины силой $$F_1 = 4 \text{ Н}$$, её длина становится $$l_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$$. Изменение длины при этом равно: $$\Delta l_1 = l_0 - l_1 = l_0 - 0.08$$

Тогда закон Гука для сжатия будет выглядеть так: $$F_1 = k \cdot (l_0 - l_1)$$ $$4 = k \cdot (l_0 - 0.08)$$

В случае растяжения пружины силой $$F_2 = 7 \text{ Н}$$, её длина становится $$l_2 = 13.5 \text{ см} = 0.135 \text{ м}$$. Изменение длины при этом равно: $$\Delta l_2 = l_2 - l_0 = 0.135 - l_0$$

Тогда закон Гука для растяжения будет выглядеть так: $$F_2 = k \cdot (l_2 - l_0)$$ $$7 = k \cdot (0.135 - l_0)$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($$k$$ и $$l_0$$):

$$\begin{cases} 4 = k \cdot (l_0 - 0.08) \\ 7 = k \cdot (0.135 - l_0) \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить $$k$$:

$$\frac{7}{4} = \frac{0.135 - l_0}{l_0 - 0.08}$$ $$7 \cdot (l_0 - 0.08) = 4 \cdot (0.135 - l_0)$$ $$7l_0 - 0.56 = 0.54 - 4l_0$$ $$11l_0 = 1.1$$ $$l_0 = 0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$$

Таким образом, длина недеформированной пружины равна 10 см.

Ответ: 10 см