390. Если сжимать пружину силой 4 Н, то её длина будет равна 8 см, а если растягивать силой 7 Н, то её длина будет равна 13,5 см. Чему равна длина недеформированной пружины?

Решение:

Обозначим длину недеформированной пружины $$l_0$$, а жёсткость пружины $$k$$. При сжатии пружины силой 4 Н её длина становится 8 см. По закону Гука, сила упругости равна $$F = k|\Delta l|$$, где $$\|\Delta l\|$$ - изменение длины пружины. В данном случае, $$4 \text{ Н} = k(l_0 - 0.08 \text{ м})$$. При растяжении пружины силой 7 Н её длина становится 13.5 см. Тогда, $$7 \text{ Н} = k(0.135 \text{ м} - l_0)$$. Имеем систему уравнений:

$$\begin{cases} 4 = k(l_0 - 0.08)\\ 7 = k(0.135 - l_0) \end{cases}$$

Выразим $$k$$ из каждого уравнения:

$$k = \frac{4}{l_0 - 0.08} = \frac{7}{0.135 - l_0}$$

Решим уравнение относительно $$l_0$$:

$$4(0.135 - l_0) = 7(l_0 - 0.08)$$ $$0.54 - 4l_0 = 7l_0 - 0.56$$ $$11l_0 = 1.1$$ $$l_0 = 0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$$

Ответ: 10 см