Если точка P(x₀, y₀) является точкой экстремума дифференцируемой функции, то касательная плоскость к поверхности z = f(P) в точке M₀(x₀, y₀; f(x₀, y₀))

Решение:

Если точка \( P(x_0, y_0) \) является точкой экстремума дифференцируемой функции \( z = f(x, y) \), то касательная плоскость к поверхности в точке \( M_0(x_0, y_0, f(x_0, y_0)) \) параллельна плоскости \( Oxy \).

Это связано с тем, что в точке экстремума частные производные равны нулю: \( \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \) и \( \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \). Уравнение касательной плоскости в точке \( (x_0, y_0, z_0) \) имеет вид: \( z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0) \). Подставляя частные производные, равные нулю, получаем: \( z - z_0 = 0 \), что означает \( z = z_0 \). Это уравнение плоскости, параллельной плоскости \( Oxy \) (уравнение которой \( z = 0 \) или \( z = const \)).

Ответ: параллельна плоскости Оху