Если точка P(x₀, y₀) является точкой экстремума дифференцируемой функции z = f(P) в точке M₀(x₀, y₀; f(x₀, y₀)), то касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке M₀:

Решение:

Касательная плоскость к поверхности \( z = f(x, y) \) в точке \( M_0(x_0, y_0, z_0) \) имеет уравнение:

\[ z - z_0 = f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) \]

где \( z_0 = f(x_0, y_0) \).

Если точка \( P(x_0, y_0) \) является точкой экстремума, то частные производные в этой точке равны нулю:

\[ f'_x(x_0, y_0) = 0 \]

\[ f'_y(x_0, y_0) = 0 \]

Подставляя эти значения в уравнение касательной плоскости, получаем:

\[ z - f(x_0, y_0) = 0(x - x_0) + 0(y - y_0) \]

\[ z - f(x_0, y_0) = 0 \]

\[ z = f(x_0, y_0) \]

Это уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxy (плоскости \( z=0 \)) и проходящей через точку \( M_0 \).

Ответ: параллельна плоскости Оху