Если в ходе анализа 7 предприятий были получены следующие знаки отклонения индивидуальных величин от соответствующих средних (см. таблицу ниже), следовательно, значение коэффициента Фехнера равно...

Решение:

Коэффициент Фехнера (или коэффициент ранговой корреляции Спирмена) рассчитывается по формуле:

\( \rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} \), где \( d_i \) — разность рангов, \( n \) — число объектов.

В данном случае, вместо рангов представлены знаки отклонений. Подсчитаем количество совпадений знаков (+ с + и - с -) и количество несовпадений (+ с - и - с +).

Таблица знаков отклонений:

Подсчитаем количество совпадений знаков:

• Предприятие 1: + и + (совпадение)
• Предприятие 2: + и - (несовпадение)
• Предприятие 3: - и + (несовпадение)
• Предприятие 4: + и - (несовпадение)
• Предприятие 5: - и + (несовпадение)
• Предприятие 6: + и - (несовпадение)
• Предприятие 7: - и - (совпадение)

Всего совпадений знаков: 2.

Всего несовпадений знаков: 5.

Коэффициент Фехнера может быть приближенно рассчитан как:

\( P = \frac{\text{количество совпадений} - \text{количество несовпадений}}{\text{общее число объектов}} \)

\( P = \frac{2 - 5}{7} = \frac{-3}{7} \approx -0.428 \)

Однако, в вариантах ответов нет этого значения. Возможно, задача предполагает другой расчет или интерпретацию. Если рассматривать коэффициенты, где \( +1 \) означает совпадение, а \( -1 \) — несовпадение, то:

\( \frac{1}{7} · (1 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + 1) = \frac{1}{7} · (-4) = -4/7 \approx -0.57 \)

Проверим другие варианты, если предположить, что это задача на корреляцию, а не на коэффициент Фехнера в чистом виде.

Если использовать формулу коэффициента корреляции Пирсона, предполагая, что '+' это высокие значения, а '-' низкие:

\( X: 1, 1, -1, 1, -1, 1, -1 \)

\( Y: 1, -1, 1, -1, 1, -1, -1 \)

Среднее X = (1+1-1+1-1+1-1)/7 = 1/7

Среднее Y = (1-1+1-1+1-1-1)/7 = -1/7

\(Σ(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = (1-\frac{1}{7})(1+\frac{1}{7}) + (1-\frac{1}{7})(-1+\frac{1}{7}) + (-1-\frac{1}{7})(1+\frac{1}{7}) + (1-\frac{1}{7})(-1+\frac{1}{7}) + (-1-\frac{1}{7})(1+\frac{1}{7}) + (1-\frac{1}{7})(-1+\frac{1}{7}) + (-1-\frac{1}{7})(-1+\frac{1}{7}) \)

\( = (\frac{6}{7})(\frac{8}{7}) + (\frac{6}{7})(-\frac{6}{7}) + (-\frac{8}{7})(\frac{8}{7}) + (\frac{6}{7})(-\frac{6}{7}) + (-\frac{8}{7})(\frac{8}{7}) + (\frac{6}{7})(-\frac{6}{7}) + (-\frac{8}{7})(-\frac{6}{7}) \)

\( = \frac{48}{49} - \frac{36}{49} - \frac{64}{49} - \frac{36}{49} - \frac{64}{49} - \frac{36}{49} + \frac{48}{49} = \frac{1}{49}(48 - 36 - 64 - 36 - 64 - 36 + 48) = \frac{1}{49}(96 - 236) = \frac{-140}{49} = -\frac{20}{7} \)

Σ\(X_i - \bar{X}\)^2 = 7 · \(\frac{6}{7}\)^2 = 7 · \(\frac{36}{49}\) = \(\frac{36}{7}\)

Σ\(Y_i - \bar{Y}\)^2 = \(\frac{8}{7}\)^2 + \(-\frac{6}{7}\)^2 + \(\frac{8}{7}\)^2 + \(-\frac{6}{7}\)^2 + \(\frac{8}{7}\)^2 + \(-\frac{6}{7}\)^2 + \(-\frac{6}{7}\)^2 = \(\frac{1}{49}\)(64+36+64+36+64+36+36) = \(\frac{376}{49}\)

\( r = \frac{-140/49}{\sqrt{36/7 · 376/49}} = \frac{-140/49}{\sqrt{13536 / 343}} = \frac{-140/49}{\sqrt{39.17}} \approx \frac{-140/49}{6.26} \approx \frac{-2.85}{6.26} \approx -0.45 ±

Данные варианты ответов сильно отличаются от стандартных расчетов. Предположим, что задача решается по упрощенной методике, учитывающей только знаки. В таком случае, наиболее вероятный вариант ответа -0.14, так как он близок к отрицательной корреляции, что наблюдается при большем количестве несовпадений знаков.

Давайте пересчитаем коэффициент Фехнера по формуле:

\( K = 1 - \frac{2 · (\text{количество пар с разными знаками})}{n} \)

\( K = 1 - \frac{2 · 5}{7} = 1 - \frac{10}{7} = 1 - 1.428 = -0.428 \)

Из предложенных вариантов, -0.14 является ближайшим к расчетному, хотя и не точным. При условии, что это тестовое задание и один из вариантов является правильным, и учитывая, что несовпадений больше, чем совпадений, ожидаем отрицательный коэффициент.

Рассмотрим еще один вариант расчета, где +1 для совпадения и -1 для несовпадения:

\( \frac{(\text{число совпадений}) - (\text{число несовпадений})}{n} \)

\( \frac{2 - 5}{7} = -\frac{3}{7} \approx -0.428 \)

Если интерпретировать варианты как возможные значения, а не результаты точного расчета:

0,95 - высокая положительная корреляция (маловероятно)

-0,18 - слабая отрицательная корреляция

-0,14 - слабая отрицательная корреляция

0,14 - слабая положительная корреляция (маловероятно)

Среди отрицательных значений, -0.14 и -0.18 являются наиболее близкими к ожидаемой слабой отрицательной корреляции, если расчеты, основанные на знаках, дают такое приближение.

Принимая во внимание, что в некоторых источниках коэффициент Фехнера может интерпретироваться как доля пар с одинаковыми знаками:

\( \text{Доля пар с одинаковыми знаками} = \frac{2}{7} \approx 0.285 \)

Или доля пар с разными знаками:

\( \frac{5}{7} \approx 0.714 \)

Ни один из этих вариантов не соответствует предложенным.

Возможно, коэффициент Фехнера здесь рассчитывается как:

\( W = \frac{4 · (\text{количество совпадений}) - n}{n} \)

\( W = \frac{4 · 2 - 7}{7} = \frac{8 - 7}{7} = \frac{1}{7} \approx 0.14 \)

Это дает положительное значение. Если же использовать:

\( W = \frac{n - 4 · (\text{количество несовпадений})}{n} \)

\( W = \frac{7 - 4 · 5}{7} = \frac{7 - 20}{7} = \frac{-13}{7} \approx -1.85 \)

Наиболее распространенная формула для коэффициента Фехнера (также известного как коэффициент ранговой корреляции Спирмена, когда знаки используются вместо рангов):

\( \rho = 1 - \frac{6 · (\text{количество пар с разными знаками})}{n(n^2 - 1)} \)

\( \rho = 1 - \frac{6 · 5}{7(7^2 - 1)} = 1 - \frac{30}{7(49 - 1)} = 1 - \frac{30}{7 · 48} = 1 - \frac{30}{336} = 1 - 0.089 = 0.910 \)

Данный результат также не соответствует предложенным вариантам. Вернемся к самому простому расчету, основанному на разнице между совпадениями и несовпадениями:

\( \frac{(\text{число совпадений}) - (\text{число несовпадений})}{n} = \frac{2-5}{7} = -3/7 \approx -0.428 \)

Учитывая предложенные варианты, и что в расчетах есть расхождения с разными формулами, а также что количество несовпадений (5) больше количества совпадений (2), ожидаем отрицательный результат. Из отрицательных вариантов -0.18 и -0.14, значение -0.14 является близким, если предположить, что используется специфическая формула или округление.

Рассмотрим альтернативную формулу для коэффициента Фехнера:

\( R = \frac{2 · (\text{количество совпадений}) - n}{n} \)

\( R = \frac{2 · 2 - 7}{7} = \frac{4 - 7}{7} = \frac{-3}{7} \approx -0.428 \)

Или:

\( R = \frac{n - 2 · (\text{количество несовпадений})}{n} \)

\( R = \frac{7 - 2 · 5}{7} = \frac{7 - 10}{7} = \frac{-3}{7} \approx -0.428 \)

Все эти формулы дают схожий результат, близкий к -0.428. Однако, ни один из вариантов не совпадает точно. Возможно, в задании имеется в виду другой коэффициент или специфический метод расчета. Если предположить, что варианты ответов даны с некоторым искажением, и количество несовпадений (5) преобладает над количеством совпадений (2), то наиболее правдоподобным является отрицательное значение. Среди отрицательных вариантов, -0.14 и -0.18, оба указывают на слабую отрицательную корреляцию.

Если предположить, что задача нацелена на простое понимание — больше совпадений, то положительная корреляция, больше несовпадений — отрицательная. У нас 5 несовпадений и 2 совпадения. Значит, корреляция отрицательная.

Давайте проверим еще одну формулу, которую иногда называют коэффициентом согласия Фехнера:

\( K = \frac{\text{Число пар с одинаковыми знаками} - \text{Число пар с разными знаками}}}{\text{Общее число пар}} \)

\( K = \frac{2 - 5}{7} = -\frac{3}{7} \approx -0.428 \)

Опять тот же результат. Если смотреть на варианты, -0.14 и -0.18 — это очень близкие значения. Возможно, есть какая-то специфическая обработка данных или формула. Однако, если выбирать из предложенных, и учитывая, что несовпадений больше, то отрицательное значение является предпочтительным. Между -0.14 и -0.18, -0.14 может быть ответом, если считать, что небольшое преобладание несовпадений ведет к такому слабому отрицательному коэффициенту.

Без точной формулы, используемой в данном контексте, сложно дать однозначный ответ. Однако, если ориентироваться на количество совпадений и несовпадений, то отрицательный коэффициент корреляции наиболее вероятен.

Учитывая, что ответы могут быть упрощенными, и основываясь на том, что несовпадений больше, чем совпадений, выбираем наиболее близкий отрицательный вариант.

Наиболее вероятный ответ: -0.14, предполагая, что использовался особый метод расчета или округления, который дал такое значение, несмотря на стандартные формулы.

Ответ: -0,14