Если в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной, равной 2, а одна из боковых граней также равносторонний треугольник и перпендикулярна основанию (см. рисунок ниже), то объем пирамиды равен ...

Решение:

В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC со стороной \( a = 2 \). Площадь основания \( S_{осн} \) можно найти по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \]

Одна из боковых граней (например, ADC) является равносторонним треугольником и перпендикулярна основанию. Это означает, что высота пирамиды (h), проведенная из вершины D к основанию ABC, лежит в этой грани. Поскольку грань ADC равносторонний треугольник, её высота (она же высота пирамиды) равна:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]

Объем пирамиды \( V \) вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \]

Подставим найденные значения:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \]

Ответ: 1