Если в партии из 10 деталей имеется 8 стандартных и наудачу отобраны две детали, то функция распределения F(x) будет иметь вид: ...

Решение:

Это задача на гипергеометрическое распределение, так как мы выбираем без возвращения из конечной совокупности.

Обозначим:

• \(N = 10\) — общее число деталей в партии.
• \(K = 8\) — число стандартных деталей.
• \(n = 2\) — число отобранных деталей.
• \(X\) — случайная величина, равная числу стандартных деталей среди отобранных.

Возможные значения \(X\) — это 0, 1, 2.

Формула функции распределения \(F(x) = P(X \le x)\).

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения \(X\):

• \(P(X=0)\) — вероятность отобрать 0 стандартных деталей (то есть 2 нестандартные). Число нестандартных деталей: \(N-K = 10-8 = 2\).
\[ P(X=0) = \frac{\binom{K}{0} \binom{N-K}{n-0}}{\binom{N}{n}} = \frac{\binom{8}{0} \binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1 \cdot 1}{45} = \frac{1}{45} \]
• \(P(X=1)\) — вероятность отобрать 1 стандартную деталь (и 1 нестандартную).
\[ P(X=1) = \frac{\binom{K}{1} \binom{N-K}{n-1}}{\binom{N}{n}} = \frac{\binom{8}{1} \binom{2}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{45} = \frac{16}{45} \]
• \(P(X=2)\) — вероятность отобрать 2 стандартные детали (и 0 нестандартных).
\[ P(X=2) = \frac{\binom{K}{2} \binom{N-K}{n-2}}{\binom{N}{n}} = \frac{\binom{8}{2} \binom{2}{0}}{\binom{10}{2}} = \frac{28 \cdot 1}{45} = \frac{28}{45} \]

Теперь построим функцию распределения \(F(x)\):

• Если \(x < 0\), то \(F(x) = P(X \le x) = 0\).
• Если \(0 \le x < 1\), то \(F(x) = P(X \le x) = P(X=0) = \frac{1}{45}\).
• Если \(1 \le x < 2\), то \(F(x) = P(X \le x) = P(X=0) + P(X=1) = \frac{1}{45} + \frac{16}{45} = \frac{17}{45}\).
• Если \(x \ge 2\), то \(F(x) = P(X \le x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{45} + \frac{16}{45} + \frac{28}{45} = \frac{45}{45} = 1\).

Ответ: Функция распределения F(x) имеет вид:

• \(F(x) = 0\) при \(x < 0\)
• \(F(x) = \frac{1}{45}\) при \(0 \le x < 1\)
• \(F(x) = \frac{17}{45}\) при \(1 \le x < 2\)
• \(F(x) = 1\) при \(x \ge 2\)