Если в трёхзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 423 больше первоначального. Найдите наименьшее первоначальное число, обладающее таким свойством.

Пусть трехзначное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где a, b, c - цифры от 0 до 9, и $$a
eq 0$$. Тогда это число можно записать как $$100a + 10b + c$$. Если переставить последнюю цифру в начало, то получится число $$\overline{cab}$$, которое можно записать как $$100c + 10a + b$$. По условию задачи, новое число на 423 больше первоначального, то есть $$100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 423$$. Упростим уравнение: $$99c - 90a - 9b = 423$$. Разделим обе части на 9: $$11c - 10a - b = 47$$. Выразим b через a и c: $$b = 11c - 10a - 47$$. Так как a, b, c - цифры, они должны быть целыми числами от 0 до 9. Найдем наименьшее значение a, при котором выполняется условие задачи. a не может быть равно 0, так как это трехзначное число. Попробуем $$a = 1$$: $$b = 11c - 10 - 47 = 11c - 57$$. Чтобы b было положительным, $$11c > 57$$, то есть $$c > \frac{57}{11} \approx 5.18$$. Значит, минимальное значение для c равно 6. Если $$c = 6$$, то $$b = 11(6) - 57 = 66 - 57 = 9$$. Тогда число $$\overline{abc} = 196$$. Проверим: Если переставить последнюю цифру в начало, то получится число 619. $$619 - 196 = 423$$. Таким образом, наименьшее первоначальное число равно 196. Ответ: 196