№10. Если в трёхзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 450 больше первоначального. Найдите наименьшее первоначальное число, обладающее таким свойством.

Пусть трёхзначное число имеет вид $$100a + 10b + c$$, где a, b, c - цифры от 0 до 9, причем a ≠ 0.

После перестановки последней цифры в начало, новое число будет иметь вид $$100c + 10a + b$$.

По условию, новое число на 450 больше первоначального, то есть:

$$100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 450$$

Преобразуем уравнение:

$$99c - 90a - 9b = 450$$

Разделим обе части уравнения на 9:

$$11c - 10a - b = 50$$

Выразим b через a и c:

$$b = 11c - 10a - 50$$

Так как требуется найти наименьшее первоначальное число, будем перебирать значения c начиная с наименьших возможных значений и искать подходящие значения a и b.

Если c = 5:

$$b = 11(5) - 10a - 50 = 55 - 10a - 50 = 5 - 10a$$

Так как b должно быть неотрицательным, то $$5 - 10a \ge 0$$, значит $$10a \le 5$$, и $$a \le 0.5$$. Но a не может быть 0, так как это первая цифра трёхзначного числа, поэтому этот случай не подходит.

Если c = 6:

$$b = 11(6) - 10a - 50 = 66 - 10a - 50 = 16 - 10a$$

Так как b должно быть однозначным числом, $$16 - 10a \ge 0$$ и $$16 - 10a \le 9$$.

Отсюда, $$10a \le 16$$ и $$10a \ge 7$$, значит $$a \le 1.6$$ и $$a \ge 0.7$$. Так как a целое число, то a = 1.

Тогда, $$b = 16 - 10(1) = 6$$.

Получаем число $$100a + 10b + c = 100(1) + 10(6) + 6 = 100 + 60 + 6 = 166$$.

Проверим:

Переставим последнюю цифру в начало: 616.

$$616 - 166 = 450$$.

Ответ: 166