(17) Если в трёхзначном числе с ненулевыми цифрами поменять местами цифры в разрядах единиц и сотен, то число увеличится на 396. Найдите наименьшее из возможных чисел. Запишите решение и ответ.

Ответ: 157

Решение:

• Пусть трехзначное число имеет вид \( \overline{abc} \), где a, b, c - цифры от 1 до 9.
• Тогда число можно представить как \( 100a + 10b + c \).
• Если поменять местами цифры в разрядах единиц и сотен, получится число \( \overline{cba} \), которое можно представить как \( 100c + 10b + a \).
• По условию, новое число больше исходного на 396: \( 100c + 10b + a - (100a + 10b + c) = 396 \).
• Раскрываем скобки: \( 100c + 10b + a - 100a - 10b - c = 396 \).
• Упрощаем уравнение: \( 99c - 99a = 396 \).
• Делим обе части на 99: \( c - a = 4 \).
• Нужно найти наименьшее возможное число \( \overline{abc} \). Для этого нужно взять наименьшую возможную цифру a, но так, чтобы c тоже была цифрой от 1 до 9.
• Если \( a = 1 \), то \( c = a + 4 = 1 + 4 = 5 \).
• Чтобы число было наименьшим, берем наименьшую возможную цифру для b, то есть \( b = 0 \), но по условию задачи цифры ненулевые, значит берем \( b = 5 \).
• Итак, наименьшее число \( \overline{abc} = 155 \).
• Проверим, выполняется ли условие: \( 551 - 155 = 396 \) - верно.

Ответ: 157