Если x – корень уравнения \sqrt[3]{1+\sqrt{x-1}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{x-1}} = 2, то значение выражения \frac{x}{x+2} равно

Решим уравнение: $$\sqrt[3]{1+\sqrt{x-1}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{x-1}} = 2$$

Пусть $$a = \sqrt[3]{1+\sqrt{x-1}}, b = \sqrt[3]{1-\sqrt{x-1}}$$

Тогда $$a + b = 2$$

Возведем обе части в куб: $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = 8$$

Найдем $$a^3 = 1 + \sqrt{x-1}$$

Найдем $$b^3 = 1 - \sqrt{x-1}$$

Тогда $$a^3 + b^3 = 1 + \sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} = 2$$

Найдем $$ab = \sqrt[3]{(1+\sqrt{x-1})(1-\sqrt{x-1})} = \sqrt[3]{1 - (x-1)} = \sqrt[3]{2-x}$$

Подставим в уравнение: $$2 + 3 \cdot \sqrt[3]{2-x} \cdot 2 = 8$$

$$6\sqrt[3]{2-x} = 6$$

$$\sqrt[3]{2-x} = 1$$

$$2-x = 1$$

$$x = 1$$

Найдем значение выражения: $$\frac{x}{x+2} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$$

Следовательно, значение выражения равно $$\frac{1}{3}$$.

Ответ: $$\frac{1}{3}$$