Если x = 4t + 1, y = (3 - 2t)², то производная y'x при t = 2 равна ____

Решение:

Для нахождения производной $$ \frac{dy}{dx} $$ воспользуемся правилом дифференцирования параметрически заданных функций:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} $$

1. Найдем $$ \frac{dx}{dt} $$:
   $$ x = 4t + 1 $$
   $$ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 1) = 4 $$
2. Найдем $$ \frac{dy}{dt} $$:
   $$ y = (3 - 2t)^2 $$
   $$ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}((3 - 2t)^2) $$
   Используем правило дифференцирования сложной функции: $$ \frac{d}{du}(u^2) \cdot \frac{du}{dt} $$, где $$ u = 3 - 2t $$
   $$ \frac{dy}{dt} = 2(3 - 2t) \cdot \frac{d}{dt}(3 - 2t) $$
   $$ \frac{dy}{dt} = 2(3 - 2t) \cdot (-2) $$
   $$ \frac{dy}{dt} = -4(3 - 2t) $$
3. Найдем $$ \frac{dy}{dx} $$:
   $$ \frac{dy}{dx} = \frac{-4(3 - 2t)}{4} $$
   $$ \frac{dy}{dx} = -(3 - 2t) $$
   $$ \frac{dy}{dx} = 2t - 3 $$
4. Вычислим $$ \frac{dy}{dx} $$ при $$ t = 2 $$:
   $$ \frac{dy}{dx} \Big|_{t=2} = 2(2) - 3 $$
   $$ \frac{dy}{dx} \Big|_{t=2} = 4 - 3 $$
   $$ \frac{dy}{dx} \Big|_{t=2} = 1 $$

Ответ: 1