Эта таблица наглядно иллюстрирует свойство 1 числа сочетаний C^n_m = C^n_{n-m}, которое можно сформулировать так: числа, одинаково удалённые от концов строки треугольника Паскаля, равны. Задача 1. Записать разложение бинома (x - 2)^6. По формуле (1) находим: (x - 2)^6 = (x + (-2))^6 = = C^6_0 x^6 + C^5_1 x^5 · (-2) + C^4_2 x^4 · (-2)^2 + C^3_3 x^3 · (-2)^3 + C^2_4 x^2 · (-2)^4 + C^1_5 x · (-2)^5 + C^0_6 (-2)^6 = = x^6 + 6x^5 · (-2) + 15x^4 · 4 + 20x^3 · (-8) + 15x^2 · 16 + 6x · (-32) + 64 = = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64. Заметим, что при записи разложения степени бинома полезно контролировать следующие моменты: 1) число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя m степени бинома, т. е. равно m + 1;

Решение:

Разложим бином \( (x - 2)^6 \) по формуле бинома Ньютона:

• \( (x - 2)^6 = (x + (-2))^6 \)
• Применим формулу бинома Ньютона: \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k \)
• \( (x + (-2))^6 = C_6^0 x^6 (-2)^0 + C_6^1 x^5 (-2)^1 + C_6^2 x^4 (-2)^2 + C_6^3 x^3 (-2)^3 + C_6^4 x^2 (-2)^4 + C_6^5 x^1 (-2)^5 + C_6^6 x^0 (-2)^6 \)
• Используя значения коэффициентов из таблицы (треугольник Паскаля): \( C_6^0 = 1, C_6^1 = 6, C_6^2 = 15, C_6^3 = 20, C_6^4 = 15, C_6^5 = 6, C_6^6 = 1 \)
• Подставим значения: \( = 1 · x^6 · 1 + 6 · x^5 · (-2) + 15 · x^4 · 4 + 20 · x^3 · (-8) + 15 · x^2 · 16 + 6 · x · (-32) + 1 · 1 · 64 \)
• Упростим: \( = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64 \)

Проверка:

• Число членов многочлена равно \( 6 + 1 = 7 \), что соответствует показателю степени бинома.

Ответ: \( x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64 \).