Evaluate the definite integral: $$\int_{-4}^{0} \frac{dx}{(x+3)^3}$$

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, что данный интеграл является несобственным, так как знаменатель обращается в ноль при x = -3, что находится в пределах интегрирования от -4 до 0.
2. Шаг 2: Разбиваем интеграл на два: \[ \int_{-4}^{0} \frac{dx}{(x+3)^3} = \int_{-4}^{-3} \frac{dx}{(x+3)^3} + \int_{-3}^{0} \frac{dx}{(x+3)^3} \]
3. Шаг 3: Вычисляем первый интеграл: The first integral is improper because the integrand approaches infinity as $$x \to -3^-$$. We use the definition of an improper integral: \[ \lim_{t \to -3^-} \int_{-4}^{t} \frac{dx}{(x+3)^3} \]
4. Шаг 4: Выполняем замену переменной: пусть $$u = x+3$$, тогда $$du = dx$$. Пределы интегрирования изменяются: при $$x=-4$$, $$u = -4+3 = -1$$; при $$x=t$$, $$u = t+3$$. \[ \lim_{t \to -3^-} \int_{-1}^{t+3} u^{-3} du \]
5. Шаг 5: Интегрируем: \[ \lim_{t \to -3^-} \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_{-1}^{t+3} = \lim_{t \to -3^-} \left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{-1}^{t+3} \]
6. Шаг 6: Подставляем пределы интегрирования: \[ \lim_{t \to -3^-} \left( -\frac{1}{2(t+3)^2} - \left(-\frac{1}{2(-1)^2}\right) \right) = \lim_{t \to -3^-} \left( -\frac{1}{2(t+3)^2} + \frac{1}{2} \right) \]
7. Шаг 7: Анализируем предел. При $$t \to -3^-$$, $$(t+3)^2 \to 0^+$$, следовательно, $$- \frac{1}{2(t+3)^2} \to -\infty$$. Таким образом, первый интеграл расходится.
8. Шаг 8: Так как одна часть несобственного интеграла расходится, весь интеграл от -4 до 0 расходится.

Ответ: Интеграл расходится.