Evaluate the expression: $$\frac{2}{9} : \left( \frac{11}{18} - \frac{7}{10} \right) + 7 \cdot 2 \frac{1}{14}$$.

Решение:

1. Вычисляем выражение в скобках:
   • Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 10 равен 90.
   • \( \frac{11}{18} = \frac{11 \times 5}{18 \times 5} = \frac{55}{90} \)
   • \( \frac{7}{10} = \frac{7 \times 9}{10 \times 9} = \frac{63}{90} \)
   • \( \frac{55}{90} - \frac{63}{90} = \frac{55 - 63}{90} = \frac{-8}{90} = \frac{-4}{45} \)
2. Выполняем деление:
   • Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь.
   • \( \frac{2}{9} : \left( \frac{-4}{45} \right) = \frac{2}{9} \times \left( \frac{-45}{4} \right) \)
   • Сокращаем: \( \frac{2}{9} \times \frac{-45}{4} = \frac{1}{1} \times \frac{-5}{2} = \frac{-5}{2} \)
3. Выполняем умножение:
   • Представляем смешанное число в виде неправильной дроби: \( 2 \frac{1}{14} = \frac{2 \times 14 + 1}{14} = \frac{28 + 1}{14} = \frac{29}{14} \)
   • \( 7 \cdot \frac{29}{14} \)
   • Сокращаем: \( 7 \times \frac{29}{14} = 1 \times \frac{29}{2} = \frac{29}{2} \)
4. Складываем результаты:
   • \( \frac{-5}{2} + \frac{29}{2} = \frac{-5 + 29}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)

Ответ: 12