Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Evaluate the expression: $$ \frac{5^{4} \cdot (5^{-2})^{4}}{5^{6} \cdot (5^{3})^{3}} = ? $$
Ответ:
Краткое пояснение: Для решения этого примера используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), при возведении степени в степень показатели перемножаются \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), а при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Упрощаем числитель. Применяем свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к \( (5^{-2})^{4} \): \( 5^{-2 \cdot 4} = 5^{-8} \). Теперь числитель выглядит так: \( 5^{4} \cdot 5^{-8} \). Применяем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 5^{4 + (-8)} = 5^{-4} \).
- Шаг 2: Упрощаем знаменатель. Применяем свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к \( (5^{3})^{3} \): \( 5^{3 \cdot 3} = 5^{9} \). Теперь знаменатель выглядит так: \( 5^{6} \cdot 5^{9} \). Применяем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 5^{6 + 9} = 5^{15} \).
- Шаг 3: Делим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель. Теперь у нас есть \( \frac{5^{-4}}{5^{15}} \). Применяем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 5^{-4 - 15} = 5^{-19} \).
Ответ: $$5^{-19}$$
