Evaluate the expression: \(\frac{a^{-6}}{a^{-3} \cdot a^{-2}}\) when \(a = \frac{2}{3}\).

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):
   \(\frac{a^{-6}}{a^{-3} \cdot a^{-2}} = \frac{a^{-6}}{a^{-3 + (-2)}} = \frac{a^{-6}}{a^{-5}} = a^{-6 - (-5)} = a^{-6 + 5} = a^{-1}\)
2. Теперь подставим значение \(a = \frac{2}{3}\) в упрощённое выражение:
   \(a^{-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\)
3. При возведении дроби в отрицательную степень, дробь переворачивается:
   \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}\)

Ответ: \(\frac{3}{2}\).